Majoration d'un ensemble

[ariel60]

Bonjour,

Avec cet exercice:
Soit A
Montrer que A est une partie majorée de R et calculer sup(A).

En posant appartenant à A;puis

en posant x=m+n, je trouve

A partir de là je ne sais plus quoi faire..
Merci d avance

[chan79]

salut


Etudie

[aymanemaysae]

Bonjour,

Merci M.Chan79 pour l'idée de départ, mais je crois que l'étude de telle que :



n'est pas si facile que ça . A mon avis on doit étudier d'abord la fonction telle que :



et la fonction telle que :



et enfin la fonction telle que :



et constater qui f est croissante sur , et .

En conclusion on obtient que est majorée par ,

et comme , donc est aussi majoré par .

J'espère qu'il y a une démarche plus simple et plus directe.

[Pseuda]

J'espère qu'il y a une démarche plus simple et plus directe.

Bonjour,

On pourrait aussi pour simplifier l'énoncé (qui me paraît compliqué inutilement), dire que cet ensemble est le même que l'ensemble des , .

La suite des est une suite majorée, croissante (mais, de mémoire, c'est très difficile à montrer), donc qui converge, limite facile à trouver. La borne supérieure de l'ensemble est cette limite.

La méthode en passant par une fonction me paraît donc meilleure.

[ariel60]

j'arrive pas trop à admettre que la limite de ((x+1)/x)^x tend vers e.mon enoncé donne une indication que
mais ça me donne à la fin une majoration de A par une fonction exponentielle qui est bien trop grande...je ne vois pas d'autre moyen

[fatal_error]

hello,

ben d'apres chan,

si t'appliques ln sur... ()^(m+n) tu obtiens immédiatement le résultat:


pis comme la fonction expo est str croissante et continue, ben tu peux l'appliquer des deux côtés:


concernant le fait d'admettre ()^x <= e, c'est assez classique:

1/x tend vers 0 quand x tend l'infini, par développement limité, de ln(1+u)=u+u^2/2+o(u^2)

(pas sûr pour écrire o(1), mais l'idée est là...)

(ca suppose que la fonction est croissante pour dire que le majo est en l'infini, m'enfin...)

[ariel60]

mmhh.. je vois merci encore à vous!c'est vrai que la démonstration est assez immédiate à trouver,meme si au depart j'avais eu un peu de mal avec la limite

[aymanemaysae]

Bonsoir,

tout d'abord, considérons la fonction telle que :



on a et .

Soit aussi telle que :



donc on a en nous référant à la fonction ;

on a donc .

Soit aussi telle que :



donc on a en nous référant à la fonction ,

donc est croissante sur , et comme on a ,

donc est majorée par ,

et comme , donc est aussi majoré par .

[chan79]

salut
une variante pour ce qui concerne le calcul de la limite:

on cherche la limite quand tend vers de

soit la limite quand X tend vers 0 de (limite du taux de variation)

la limite demandée est

on pourra regarder l'exo n°9 http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00104.pdf