Que dire d'une fonction
Bonne réflexion
:happy3:
Majoration complexe
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Majoration complexe
par Nightmare » 07 Jan 2010, 16:53
Salut à tous !
Que dire d'une fonction
entière, nulle sur 
et majorée en tout point z complexe par |})
?
Bonne réflexion
:happy3:
Que dire d'une fonction
Bonne réflexion
:happy3:
par ffpower » 07 Jan 2010, 20:13
Salut! ca me rappelle le théo du sinus ca:
Si f de R dans R est C infinie, si toutes les dérivées de f en 0 sont en valeur absolue inferieures a 1, et si f'(0)=1, alors f=sin..
Si f de R dans R est C infinie, si toutes les dérivées de f en 0 sont en valeur absolue inferieures a 1, et si f'(0)=1, alors f=sin..
par Ben314 » 07 Jan 2010, 20:19
Je tente le coup...
Comme
s'annule sur 
, ={f(z)\over\sin(z)})
est holomorphe sur 
(i.e. entière)
Or, si
, on a
|=\frac{|f(z)|}{\sqrt{\sin^2(x)+\sinh^2(y)}} \leq \frac{\exp(|y|)}{\sqrt{\sin^2(x)+\sinh^2(y)}})
En utilisant un carré centré en 0 de coté\pi)
(
) et le fait que le max (en module) est au bord, je pense en déduire que 
est bornée donc constante.
Comme
Or, si
En utilisant un carré centré en 0 de coté
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par yos » 07 Jan 2010, 20:22
Salut.
convient si 
.
Inversement, on pose=\frac{f(z)}{\sin z})
. Si on montre que g est entière et bornée, c'est fini par Liouville.
C'est assez évident qu'elle est entière...
montrons qu'elle est bornée : pour
,
, et pareil pour 
.
Dans la bande -1<y<1, il peut pas y avoir de maximum par le principe du maximum (hum : dernier point à vérifier).
Inversement, on pose
C'est assez évident qu'elle est entière...
montrons qu'elle est bornée : pour
Dans la bande -1<y<1, il peut pas y avoir de maximum par le principe du maximum (hum : dernier point à vérifier).
par Nightmare » 07 Jan 2010, 20:33
Salut à vous deux !
J'ai essayé de montrer comme vous qu'elle était bornée, mais j'ai bloqué comme Yos sur la bande -1 <y <1 et je n'ai pas réussi à conclure avec le le principe du maximum.
Je m'en suis sorti autrement, en considérant non pas f(z)/sin(z) mais}{sin(z)}\cdot \frac{1}{(\omega-z)^{2}})
avec 
fixé dans 
.
On a un résultat assez intéressant en calculant l'intégrale de ce machin là sur un cercle de rayon
où k est à déterminer.
J'ai essayé de montrer comme vous qu'elle était bornée, mais j'ai bloqué comme Yos sur la bande -1 <y <1 et je n'ai pas réussi à conclure avec le le principe du maximum.
Je m'en suis sorti autrement, en considérant non pas f(z)/sin(z) mais
On a un résultat assez intéressant en calculant l'intégrale de ce machin là sur un cercle de rayon
par Ben314 » 07 Jan 2010, 20:37
Il me semble que, la fonction }{\sqrt{\sin^2(x)+\sinh^2(y)}})
est bornée sur les bords des carrés de coté () et, en utilisant le principe du module maximum (il me semble que c'est comme cela que ça s'appelle) on conclue.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Nightmare » 07 Jan 2010, 21:15
Ben314 a écrit:Il me semble que, la fonction
C'est ok pour moi. Astucieux le choix du carré !
par ffpower » 16 Jan 2010, 15:06
Salut!
Night, est ce que tu connaissais la démonstration du théo du sinus que j ai énoncé plus haut?(rms peut etre).
Car la méthode que tu utilises est quasi isomorphe a la méthode utilisée pour la démo de ce théoreme.
Si ce n est pas le cas, je peux expliquer comment faire, car la tous les préliminaires ont été fait^^
Night, est ce que tu connaissais la démonstration du théo du sinus que j ai énoncé plus haut?(rms peut etre).
Car la méthode que tu utilises est quasi isomorphe a la méthode utilisée pour la démo de ce théoreme.
Si ce n est pas le cas, je peux expliquer comment faire, car la tous les préliminaires ont été fait^^
par Nightmare » 16 Jan 2010, 15:18
Salut ffpower :happy3:
J'avais proposé l'exercice dont tu parles sur le forum il y a pas si longtemps. En posant}(0))
, F vérifie l'énoncé de mon premier post et coïncide sur R avec f. C'était donc effectivement les même méthodes :lol3:
J'avais proposé l'exercice dont tu parles sur le forum il y a pas si longtemps. En posant
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