Majoration complexe
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Nightmare
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par Nightmare » 07 Jan 2010, 17:53
Salut à tous !
Que dire d'une fonction
entière, nulle sur
et majorée en tout point z complexe par
?
Bonne réflexion
:happy3:
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ffpower
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par ffpower » 07 Jan 2010, 21:13
Salut! ca me rappelle le théo du sinus ca:
Si f de R dans R est C infinie, si toutes les dérivées de f en 0 sont en valeur absolue inferieures a 1, et si f'(0)=1, alors f=sin..
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Ben314
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par Ben314 » 07 Jan 2010, 21:19
Je tente le coup...
Comme
s'annule sur
,
est holomorphe sur
(i.e. entière)
Or, si
, on a
En utilisant un carré centré en 0 de coté
(
) et le fait que le max (en module) est au bord, je pense en déduire que
est bornée donc constante.
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yos
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par yos » 07 Jan 2010, 21:22
Salut.
convient si
.
Inversement, on pose
. Si on montre que g est entière et bornée, c'est fini par Liouville.
C'est assez évident qu'elle est entière...
montrons qu'elle est bornée : pour
,
, et pareil pour
.
Dans la bande -1<y<1, il peut pas y avoir de maximum par le principe du maximum (hum : dernier point à vérifier).
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yos
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par yos » 07 Jan 2010, 21:24
Grillé par Ben...
A Jord de trancher.
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Nightmare
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par Nightmare » 07 Jan 2010, 21:33
Salut à vous deux !
J'ai essayé de montrer comme vous qu'elle était bornée, mais j'ai bloqué comme Yos sur la bande -1 <y <1 et je n'ai pas réussi à conclure avec le le principe du maximum.
Je m'en suis sorti autrement, en considérant non pas f(z)/sin(z) mais
avec
fixé dans
.
On a un résultat assez intéressant en calculant l'intégrale de ce machin là sur un cercle de rayon
où k est à déterminer.
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Ben314
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par Ben314 » 07 Jan 2010, 21:37
Il me semble que, la fonction
est bornée sur les bords des carrés de coté
(
) et, en utilisant le principe du module maximum (il me semble que c'est comme cela que ça s'appelle) on conclue.
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Nightmare
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par Nightmare » 07 Jan 2010, 22:15
Ben314 a écrit:Il me semble que, la fonction
est bornée sur les bords des carrés de coté
(
) et, en utilisant le principe du module maximum (il me semble que c'est comme cela que ça s'appelle) on conclue.
C'est ok pour moi. Astucieux le choix du carré !
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ffpower
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par ffpower » 16 Jan 2010, 16:06
Salut!
Night, est ce que tu connaissais la démonstration du théo du sinus que j ai énoncé plus haut?(rms peut etre).
Car la méthode que tu utilises est quasi isomorphe a la méthode utilisée pour la démo de ce théoreme.
Si ce n est pas le cas, je peux expliquer comment faire, car la tous les préliminaires ont été fait^^
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Nightmare
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par Nightmare » 16 Jan 2010, 16:18
Salut ffpower :happy3:
J'avais proposé l'exercice dont tu parles sur le forum il y a pas si longtemps. En posant
, F vérifie l'énoncé de mon premier post et coïncide sur R avec f. C'était donc effectivement les même méthodes :lol3:
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ffpower
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par ffpower » 16 Jan 2010, 16:20
Oki...
( je sais pas quoi dire d autre XD)
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