Majoration binôme

[Landstockman]

Bonjour,

Je cherche à établir la majoration suivante :



Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Merci d'avance

[Landstockman]

Finalement on m'a fourni une démonstration !

On écrit :

puis on montre par récurrence :


Merci !

[LB2]

Bonjour Landstockman,

la première majoration est intéressante : on majore le coefficient binomial par un polynôme en . Le problème, c'est que le degré n'est pas uniforme, il dépend de ...

Il est assez facile de voir que le maximum de est atteint pour k proche de , et c'est un bon exercice que d'évaluer . La formule de Stirling permet d'en trouver un équivalent simple : on voit que c'est bien plus grand qu'un simple polynôme en ...

Une application amusante de ce résultat : pour une marche aléatoire symétrique sur l'axe des entiers relatifs Z, si l'on part de 0, la probabilité qu'après exactement n pas, on soit de retour en 0, , tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

Par curiosité, à quoi sert la deuxième majoration?

Cordialement

[Landstockman]

Bonsoir LB2,

En fait, la deuxième majoration me servait pour majorer une probabilité (la probabilité qu'un graphe ne soit pas expanseur pour être précis). Elle me permettait de majorer une somme de produits de coefficients binomiaux par un somme géométrique, qui nous fait tout de suite beaucoup moins peur... C'est probablement la façon la plus efficace de montrer l'existence d'expanseurs. Pour ceux que ça intéresse, une démo est visible sur ce lien :

https://resources.mpi-inf.mpg.de/depart ... cture3.pdf

Ils utilisent d'ailleurs la même majoration si mes souvenirs sont bons.