Longueur d'arc

[pozor16]

Bonjour à tous,

J'ai une petite demonstration à faire sur les longueurs d'arc mais je sèche un peu.

On note L la longueur d'un arc paramétré. Soit L1,L2,L3 les longueurs des projections orthogonales de cet arc sur les 3 plans de coordonnées. Je dois montrer que:

2*L <= L1 + L2 + L3 <= L*sqrt(6)

ou "sqrt(6)" c'est racine de 6 et biensur "<=" c'est plus petit ou égal

Si quelqu'un saurait me dire plus ou moins comment montrer ceci cela serait très aimable.

Merci d'avance

[ToToR_2000]

Bonsoir,

Il faut peut-être commencer par formaliser un peu le problème, ça fait déjà la moitié du travail...
Si on appelle f la courbe paramétrée de l'arc en question et I l'intervalle sur lequel varie t, le paramètre de f, on a:

De même sachant que f est à valeurs vectorielles, f(t) = (f1(t),f2(t),f3(t)) et donc on peut en déduire l'expression des arcs L1, L2, L3.
La somme des Li est facilement minorable grâce à l'inégalité triangulaire.
Pour la majoration, c'est un peu plus astucieux: regarde du côté de l'inégalité de convexité (Jensen)