Lois à densité/exponentielle terminale

[kevincpl]

Bonjour à tous , en cette période de confinement assez compliqué j'ai eu un DM de Maths au sujet des lois exponentielles avec les variables aléatoires X et des lois à densité etc..
J'aurai donc besoin d'aide pour un exercice en particulier que je n'arrive pas du tout !

Exercice :
Tout au long de l'année scolaire , Antoine met en moyenne 15 minutes pour venir au lycée en bus.
X est la variable aléatoire qui à un trajet , associe sa durée en minutes. On pose Y= X-15/3 et on admet que Y suit la loi normale centrée réduite N(0;1).

a) Déterminer le nombre réel u tel que :
P(-u<Y<u)=0.8

b) Interpréter cette probabilité par une phrase.

c) Sachant qu'Antoine a mis plus de 15 minutes à venir au lycée , quelle est la probabilité qu'il ait mis moins de 18minutes?

J'aurai vraiment besoin de votre aide s'il vous plaît
merci beaucoup d'avance

[franck82]

a) Y suit N(0;1) et Y=(X-15)/3 donc, nu=15 et sigma=3
Or, P(-u<Y<u)=0,8 equivalent à 2P(Y<u)-1=0,8 (voir cours) , soit, P(Y<u)=(0,8+1)/2=0,9
à la calculatrice en mode stat, on trouve u=1,2815 que l'on peut arrondir à 1,28.

b) d'après le a), on a : P(Y<1,28)=0,9
Or, P(Y<1,28)=0,9 équivaut à P((X-15)/3<1,28)=0,9
puis à P(X-15<3,84)=0,9
P(X<18,84)=0,9
ce qui signifie que la probabilité que la durée de trajet soit inférieure à 18,84 min est de 0,9 (90%)

c) La probabilité demandée est : P de (X<18) sachant que X>15 = P[(X>15)inter(X<18)]/P(X>15)
=P(15<X<18)/P(X>15)
=P(0<Y<3)/P(Y>0)
AVEC P(0<Y<3)=0,5-P(Y>3) à la calcu, on trouve P(Y>3)=~1,35*10^(-3)
SACHANT QUE P(Y>0)=0,5
=0,5-1,35*10^(-3)/0,5
=0,9973

[kevincpl]

Encore merci de votre aide vous me sauver la vie
Bon dimanche a vous cordialement