Loi d'une VAR conditionnée

[SGHOMAN]

Bonsoir à tous à et à toutes,

Jusque là j'avais tendance à scruter les solutions des exos difficiles sur le net ou à me creuser la tête :marteau: , mais cette fois-ci il semblerait plus productif que je poste une demande d'aide d'autant plus que ça me permettrai d'économiser d'énormes pertes de temps :id: .

Voici l'énoncé de mon problème qui est, semble-t-il, très classique :

"Une urne contient des boules numérotés de 1 à n. On effectue des tirages avec remise tant que les numéros obtenus forment une suite strictement décroissante.
1) Déterminer la loi de la variable aléatoire X représentant le nombre de tirages effectués."

Alors le soucis c'est que chaque tirage K est conditionné par le résultat du tirage précédent et ainsi de suite. Pour éclaircir un peu mieux, à titre d'exemple, si n = 4 et que X=3, alors il y a 4!=16 façons d'ordonner les tirages ( en procédant par l'arbre des possibilités ), et les tirages se faisant avec remise, la probabilité de tirer le n° souhaité est de 1/4, d'où P(X=3)=16*(1/4)^4.

Toutefois, si ceci est correcte, comment pourrai-je le généraliser pour X=K avec démonstration ? Pourquoi y aurait-il exactement n! permutations pour ordonner les boules tirées ?

[girdav]

Bonjour,
je crois que l'on pourrait commencer par chercher le nombre de suites strictement décroissantes d'entiers compris entre et de longueur .

[SGHOMAN]

Bonjour,
Je n'ai pas bien saisi. Le problème c'est que dans ce cas là il y a une pléthoer de possibilités car les nombres ne se suivent pas forcément, exemple : 9->5->4->2->1

[girdav]

On regarde la probabilité pour que l'on s'arrête au tirage .
On cherche le nombre de suites strictement décroissantes d'entiers entre 1 et qui se terminent par un terme donné, disons . Pour que l'on s'arrête au rang , il faut que le terme tiré au tirage soit plus grand ou égal à .
La question qu'il faut se poser est : quelles sont les valeurs que peut prendre ?

[SGHOMAN]

Oui mais ça ne m'avance à rien :help: :briques:

[girdav]

Déjà, on voit que ne peut pas être trop grand (il faut tout de même laisser la place aux autres termes).
On cherche le nombre de suites décroissantes de longueur de nombres strictement plus grands que et plus petits que (au sens large). Pour cela, on peut remarquer qu'il y a une bijection entre la collection des ensembles inclus dans à éléments et les suites décroissantes de longueur de nombres strictement plus grands que et plus petits que (au sens large).
Ensuite, il reste à sommer pour adéquat.