Loi de composition pcgd neutre

[maclayne]

Bonjour,
Je me présente maclayne, je reprend actuellement mes études et revois les bases en mathématiques.

Je bloque actuellement sur une remarque d'un livre qui dit:

la loi "pgcd" ne possède pas d'élèment neutre.

J'ai cherché à en faire la preuve par l'absurde mais je n'y arrive pas.
Pourriez vous m'aider s'il vous plait.

[Mateo_13]

Bonjour,

si la loi PGCD avait un élément neutre, noté , on aurait pour tout nombre entier ,
donc diviserait pour tout entier , donc serait infiniment grand, en choisissant arbitrairement grand.

Amicalement,

[catamat]

Bonjour
Si c'est élément e existait il vérifierait pgcd(n,e)=n pour tout entier n

donc n serait diviseur de e quel que soit n donc n<=e pour tout entier n.

e serait le plus grand élément de N or celui ci n'existe pas.

[maclayne]

Merci beaucoup pour ces réponses simples et rapides.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Deux réponses rapides, mais deux mauvaises réponses : le pgcd vu comme loi de composition interne sur a bel et bien un élément neutre : 0. Et aussi un élément absorbant : 1.

Rappel de définition est pgcd de et si et seulement si est un diviseur commun de et et que tout diviseur commun de et divise .
Autrement dit, est pgcd de et si et seulement l'ensemble des diviseurs de est égal à l'ensemble des diviseurs communs de et .

Quel est ce livre qui raconte des bêtises ?

Mateo13 et catamat font d'ailleurs la même erreur de raisonnement :
"donc diviserait pour tout entier , donc serait infiniment grand."
"donc n serait diviseur de e quel que soit n donc n<=e pour tout entier n."
Tout entier divise 0 !

[catamat]

mea culpa...
En effet tout entier divise 0 !
Merci GaBuZoMeu d'avoir rectifié.

[tournesol]

pgcd(e+1,e)=e+1 entraine que e+1 divise e , et donc ((e+1e)ou(e=0))est vrai
or non(e+1e) est vrai
donc ((e+1e)ou(e=0))et (non(e+1e) est vrai
mais (((p ou q)et(non p)) implique q) est vraie qqs p et q .
donc e=0

[lyceen95]

On peut peut-être trouver un compromis qui ne fâchera personne. Peut-être que ce bouquin parlait de la loi PGCD définie sur ?

[GaBuZoMeu]

Sûr que quand on enlève l'élément neutre d'une loi de composition interne, il y a assez peu de chances pour qu'il en reste un. Un cas où ça se produit tout de même : avec .

[tournesol]

Merci GaBuZoMeu de ne pas m'avoir flingué. Ma lourde réponse n'était qu'un canular.
Je la rédige donc correctement.
Sur c'est élémentaire:
prérequis: définition et unicité de l'élément neutre.
pgcd(a,b)=pgcd(-a,b)=pgcd(a,-b)=pgcd(-a,-b)
pour tout a dans on a : pgcd(a,e)=a et pgcd(a,-e)=a
D'après l'unicité du neutre e=-e et donc e=o
réciproquement pour tout a dans on a : pgcd(a,0)=a
cqfd
Sur
Prérequis:
on a sur : si a divise b , alors ou b=0
qui devient sur : si a divise b , alors ou b=0
On a donc pgcd(e+1,e)=e+1
Donc ou e=0
comme e+1 n'est pas inférieur ou égal à e , on a e=0
réciproquement pour tout a dans on a : pgcd(a,0)=a
cqfd

[GaBuZoMeu]

Déçu que je ne t'aie pas "flingué" ?
Alors allons-y : Comment définis-tu LE pgcd sur ? Tu prends celui qui est positif ou nul ? Alors tu peux toujours courir pour avoir un élément neutre.

Par ailleurs le point délicat est pgcd(0,0). Pour ça il vaut mieux adopter la définition robuste de pgcd.

[tournesol]

Merci à toi. J'ai en effet dit beaucoup de conneries sans que ce soit un canular.
Par exemple pgcd(a,0)=a sur Z alors que c'est |a| lorsque a est non nul, et pas de définition naturelle pour (0;0) sauf à prendre 0 pour prolonger "pgcd(a,0)=a"
Je manque de temps. je vais relire plus tard ton message 19h02 et je te recontacte.

[GaBuZoMeu]

"pas de définition naturelle pour (0;0)"
Si, il y a.

[tournesol]

@ GaBuZoMeu 17h06
a b c d e
a a b c d e
b b b c d e
c c c c d e
d d d d d e
e e e e e e
Ceci est la table d'une LDCI définie sur {a,b,c,d,e}X{a,b,c,d,e}
Si on enlève a , b est neutre sur {b,c,d,e}X{b,c,d,e}
Si on enlève a et b , c est neutre sur {c,d,e}X{c,d,e}
etc.

[tournesol]

@ GaBuZoMeu 19h05
Je ne connaissais pas cette belle définition qui prolonge naturellement la définition naturelle.
N'y a t il pas aussi mais ça me parait plus artificiel .
D'autant que l'on a aussi
Il faut donc définir le pgcd de a et b comme le générateur positif de

[GaBuZoMeu]

L'avantage de la définitiond'un pgcd telle que je l'ai formulée (et qui est très classique) est qu'elle va bien pour tous les anneaux commutatifs intègres (l'existence d'un pgcd n'est pas alors garantie).
J'ai donné plus haut l'exemple de avec la loi de composition interne : 0 est élément neutre, si on enlève 0 alors 1 est élément neutre, si on enlève 0 et 1 alors 2 est élément neutre etc.
Ton exemple est en fait une version tronquée de cet exemple.

[tournesol]

Merci beaucoup pour la précision de ton éclairage.