Loi binomiale et loi normale

[christophe64]

Bonjour je suis en BTS comptabilité et gestion dans le cadre d’un CIF et je dois passer demain matin une évaluation orale très importante en maths qui traite entre autre de la loi binomiale et de la loi normale.

Il y a un problème à résoudre j’ai réussi à trouver les 2 premières questions dont je vous dispense par contre ça se complique à partir de la 4ème question. Si je me base sur mes résultats trouvés lors de la 3ème question je trouve des probabilités totalement incohérentes lors de la 4ème question. Voici l’énoncé du problème :

Une usine fabrique des vis constituées d’un alliage de 2 composants A et B.
Pour chaque vis on considère les masses a et b des 2 composants A te B qui la constituent.
On désigne par X et Y respectivement les variables aléatoires qui associent à chaque vis la masse a et la masse b des composants de cette vis.
On suppose que ces variables sont indépendantes et suivent des lois normales de moyennes respectives m1=8.55 mg et m2=5.20 mg et de même écart type e1=e2=0.05mg.

3. a) Déterminer la moyenne et l’écart type de la variable aléatoire S qui associe à chaque vis s masse totale les variables X et Y gardant les caractéristiques du départ (même écart type e1=e2=0.05mg)

b) Calculer P (13.6 ;) S ;) 13.8)
c) Calculer P (S ;) 13.8)
4. On assure le conditionnement des vis par boites de 100 unités. On désigne par U la variable aléatoire qui à chaque boîte associe le nombre de vis dont la masse totale est supérieure à 13.8.
a) Quelle est la loi de probabilité suivie par U ? Donner ses paramètres.
b) Calculer la probabilité qu’il y ait entre 72 et 76 vis dont la masse totale est supérieure à 13.8.
c) Dire pourquoi on peut approcher cette loi par une loi normale. Préciser les paramètres de cette loi normale.
d) Calculer à l’aide de cette loi P (71.5 ;) U ;) 76.5). Comparer avec la question 4.b)


Résultats trouvés :

3. a) m=m1+m2=8.55+5.2=13.75
e=;)0.005=0.07

b) P (13.6 ;) S ;) 13.8) = ;) (0.71) - ;) (-2.14)
= 0.7611-1+0.9838= 0.7449

c) P (S ;) 13.8) = 1 – P (S ;) 13..8)
= 1 – ;) (0.71) = 1- 0.7611 = 0.24

4. a) loi binomiale de paramètre B (n ; p) => B (100 ; 0.24)
b) P (72 ;) U ;) 76) = P(U=72) + P(U=73) + P(U=74) + P(U=75) + P(U=76)

Et là les résultats sont totalement incohérents si j’applique les formules de la loi binomiale. Même chose lorsque je fais l’approximation par la loi normale.

Je vous remercie par avance pour votre aide.

[Galt]

Tes résultats me semblent justes (je n'ai pas fait le calcul)
Pourquoi les trouves-tu incohérents ?
Comme la proba de dépasser 13.8 est d'environ 0.25 pour chacun, c'est assez logique qu'il soit très improbable que le nombre des échantillons dépassant 13.8 soit compris entre 72 et 76 (son ordre de grandeur devrait logiquement être de 24 (= 100*24.11)

[christophe64]

Moi aussi mon raisonnement me semble juste mais:
Lorsque je calcule avec la loi binomiale je trouve :
P(U=72) = 5.46 E -24
P(U=73) = 6.61 E -25
P(U=74) = 7.61 E -26
P(U=75) = 1.10 E -26
P(U=76) = 8.66 E -28
Ce qui me semble totalement faux comme chiffres ...

Et lorsque je fais l'approximation par la loi normale :
m= n x p= 100 x 0.24 =24
e= ;)(nxp) (1-p) = ;)18.24 = 4.27

On a donc

T1= (24-71.5)/4.27 = - 11.12
T2 =(24-76.5)/4.27 = - 12.3
Ce qui me donne des ;) (T1) et ;) (T2) incalculables ...

[Galt]

Je n'ai pas vérifié les calculs de l'écart type de S (j'ai la flemme de chercher la formule), mais s'il est juste, alors m=13,75 donne 13,8 environ à 0,7sigma, donc 24% pour la proba de S supérieur à 38 semble juste (à vue de nez, je n'ai pas non plus de table de la loi normale sous les yeux)
Dans cette mesure, les probas infinitésimales pour U=72 ... 76 semblent normales
Et les probas pour une loi normale doivent aussi être infinitésimales

[christophe64]

Ok je trouve vraiment bizarre de nous faire trouver des probabilités aussi infimes qui ne présentnet aucun intérêt.
Peut être a t'il fait une erreur dans l'énoncé on verra bien demain matin :-/