Loi de la v.a. X=rg de la 1ere apparition d'1 boule blanche

[MoonX]

Bonjour,

Soit .
Une urne contient n boules blanches et n boules noires.
On tire une à une toute les boules.
Soit la variable aléatoire égale au rang de la première boule blanche tiré.

Déterminer la loi de X.

Ce que j'ai fais :

Tout d'abord, j'ai munis l’expérience de l'univers (les arrangement à 2n éléments des 2n premiers entiers). Comme si l'on numérotait les boules de 1 à 2n.

Alors, déjà, .

Ensuite, j'ai essayé de déterminer pour tout de cette manière :
et j'ai trouvé (ce qui me semble faux):
. Mais là quand je fais la somme de 1 à n+1, je ne trouve pas 1...

[Ben314]

Salut,
Vu ce que tu as pris comme (j'aurais pas pris le même...), le nombre de cas où c'est pas le que tu as écrit :
Tu cherche le nombre d'arrangement des 2n boules qui commencent par noires (puis n'importe quoi derrière) donc on regarde les arrangements de noires parmi les noires puis toutes les façons possible d'ordonner les boules restantes.
Ce qui donne donc (pour )

[pascal16]

cf loi de Pascal ou hypergéométrique.

[MoonX]

Merci pour votre réponse ! Je vois donc mon erreur, merci.
Quel aurait été l'univers que vous auriez pris ?

La loi hypergéométrique n'est pas au programme des classes préparatoires en MP. Mais je vais regarder ça pour ma culture

[Ben314]

Perso, j'aurais pas numéroté les boules et donc considéré qu'un "cas", c'était une "phrase" de 2n lettres N ou B (avec n de chaque) donc (= cardinal de ) possibilités équiprobables.
Et dans ce cas, pour que soit égal à , il faut que la phrase soit NN...NNB??? avec N au début, puis un B puis n'importe quoi à la fin.
Or pour la fin (les ???), il reste B à répartir sur les cases restantes, soit possibilités donc.

P.S. Sinon, concernant la "loi hypergéométrique" et la "loi de pascal", le seul truc qui est pas au programme de prépa, c'est... leur nom... mais il est plus que certain que tu les rencontrera dans pas mal d'exercices, sauf que tu n'a pas à apprendre par cœur ni le nom qu'elles ont ni les propriétés qu'elle ont : ont te demandera systématiquement de tout démontrer (ce qui est très facile) (bien évidement, si je dit ça c'est en particulier parce que perso, j'ai jamais su qui c'était ces loi là : je sais juste que le nom existe, mais si j'ai pas internet, je suis bien infoutu de savoir ce que c'est...)

[MoonX]

D'accord, je vois.

Est-ce qu'on trouve toujours la même loi indépendamment de l'univers choisit (tant qu'il est juste) ?

Et de plus, je dois ensuite calculer mais je n'y arrive pas...

J'ai posé après simplifications.
Mais je ne sais pas calculer une telle somme (j'ai sûrement oublié comment faire ?) .

[Ben314]

Est-ce qu'on trouve toujours la même loi indépendamment de l'univers choisit (tant qu'il est juste) ?

Oui (et heureusement...).
En fait tu peut prendre quasi tout et n'importe quoi comme sauf que certains d'entre eux permettent des calculs bien plus simple (mais là, entre "ton" Omega et "le mien", c'est pas diabolique comme différence...)
Par contre il faut bien faire attention à regarder si les différents "cas considérés" du Omega sont équiprobables ou pas vu que c'est uniquement dans le cas d'équiprobabilité qu'on va avoir proba=cas_favorables/cas_total (mais il est des fois plus simple d'avoir un "tout petit" Omega avec des cas non équiprobables plutôt qu'un "énorme" avec cas équiprobables...)

Et de plus, je dois ensuite calculer mais je n'y arrive pas...
J'ai posé après simplifications.
Mais je ne sais pas calculer une telle somme (j'ai sûrement oublié comment faire ?) .

Déjà, je me demande s'il y a pas (au moins) une erreur : tu est sûr que ta dernière somme commence à k=1 et pas à k=0 ?
Bon, sinon, de toute façon, c'est la somme des éléments d'un morceau de colonne du triangle de pascal.
Et c'est plus que pas con de savoir que, non seulement il y a une formule simple pour la somme d'une ligne complète (à savoir ), mais qu'il y a aussi une formule pour la somme des k premiers éléments d'une colonne.
Comme je pense pas que ce soit le plus utile que je te donne la formule en question "toute crue", je t'inciterais bien à faire un triangle de pascal (d'au moins 7 ou 8 lignes) puis de calculer certaines de ces sommes des k premiers éléments d'une colonne : tu devrait rapidement conjecturer un truc qui se démontre extrêmement facilement en utilisant la "logique de construction" du triangle (une case contient la somme de la case juste au dessus et de celle au dessus à gauche).

P.S. Et en fait, la valeur de la somme des k premiers éléments d'une colonne, tu en aurais déjà eu besoin si tu avait cherché à vérifier que la somme des p(X=k) est bien égale à 1...

[MoonX]

Oui j'ai du faire quelques erreurs...
J'ai trouvé avec le triangle que .

Ce que j'ai démontré en remarquant que (formule du "triangle de Pascal"):


Le résultat se déduit grâce à l'égalité précédente.

Merci en tout cas, c'est vrai qu'avec un dessin on comprend mieux