Logique

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Hannaut
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Logique

par Hannaut » 24 Jan 2022, 10:15

Bonjour,

Je donne une définition de la notion d'élément maximal :

Soit un ensemble ordonné et a un élément de E.
On dit que a un élément maximal de E si :

Par contraposée cela donne donc :

Je voulais appliquer cette définition avec N muni de la divisibilité.
On sait que 2 est un élément maximal pour la divisibilité dans N. Mais bien que 2 soit distinct de 3, on n'a pas 3 | 2 (divise au sens strict) puisqu'il ne sont même pas comparables.
Où est mon erreur dans le raisonnement ?



lyceen95
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Re: Logique

par lyceen95 » 24 Jan 2022, 10:45

Parmi les relations d'ordre, on distingue les relations d'ordre total, et les autres, celles qui ne sont pas d'ordre total.
Dans une relation d'ordre total, pour tout couple (x,y), on a soit x<y, soit x=y, soit x>y
Et pour ces relations d'ordre total, la contraposée que tu as écrite est correcte.

Mais pour les autres relations d'ordre (la divisibilité en particulier), ta contraposée est fausse.

tournesol
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Re: Logique

par tournesol » 24 Jan 2022, 11:22

a different de x implique que a n'est pas inférieur ou égal a x , ie a superieur à x ou a n'est pas comparable avec x .

Hannaut
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Re: Logique

par Hannaut » 24 Jan 2022, 11:34

Ah ! Mais du coup, vos deux réponses se contredisent un peu non ?
@lyceen95 affirme que la contraposée n'a pas de sens pour la divisibilité et @tournesol affirme que "a different de x implique que a n'est pas inférieur ou égal a x , ie a superieur à x ou a n'est pas comparable avec x ".

Je vais essayer de comprendre "a n'est pas comparable avec x". Parce que ça n'apparaît pas explicitement dans l'assertion.

lyceen95
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Re: Logique

par lyceen95 » 24 Jan 2022, 11:43

Dans une relation d'ordre total, tous les nombres peuvent être comparés. Soit a est plus grand que b, soit il est plus petit, soit ils sont égaux.
Dans une relation d'ordre partiel (la divisibilité), 2 et 3 ne sont pas comparables. 2 n'est pas divisible par 3, et 3 n'est pas divisible par 2.
Si tu représentes tous les entiers jusqu'à 20 par exemple, sur un cercle, en mettant des flèches :
Je mets une flèche de A vers B si A est divisible par B.
Il y a plein de couples (A,B) où on n'aura pas de flèches. Ils ne sont pas comparables.

Si tu fais le même exercice en disant :
Je mets une flèche de A vers B si A est plus grand que B
Tous les couples (A, B) seront reliés par une flèche, dans un sens ou dans l'autre. Ils sont comparables.

Ordre TOTAL : TOUS les couples sont reliés par une flèche, dans un sens ou dans l'autre.
Ordre PARTIEL : un PARTIE des couples sont reliés par une flèche, dans un sens ou dans l'autre.

lyceen95
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Re: Logique

par lyceen95 » 24 Jan 2022, 11:47

La contraposée que tu as écrite a un sens, une signification ... si on lit ta ligne, on arrive à comprendre ce que tu dis. (souvent, on lit des espèces de formule qui n'ont pas de sens, là, ce n'est pas le cas)
Mais la contraposée que tu as écrite est fausse.

Hannaut
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Re: Logique

par Hannaut » 24 Jan 2022, 11:47

Merci lyceen95.
Un élément maximal, en gros c'est un maximum local ?

lyceen95
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Re: Logique

par lyceen95 » 24 Jan 2022, 12:03

Bof bof bof.
Tu reprends le terme de maximum local ... mais ce terme est très connoté, il est utilisé dans un contexte très précis, les études de fonction.

En fait, la difficulté, c'est qu'on est conditionné par la relation d'ordre classique 'plus petit que' ou 'plus grand que'
Quand on parle de relation d'ordre, dans 99.999% des cas, c'est cette relation d'ordre classique qui est utilisée.
Et il y a tout un jargon qu'on utilise communément autour de cette relation d'ordre ( <, >, minimum, maximum)

Ensuite, on généralise ce vocabulaire. On réutilise les même symboles ou quasiment (< ou> ... mais légèrement arrondis), on réutilise les mêmes mots (maximum et minimum), mais dans un contexte très différent, par exemple la divisibilité.
Dans l'univers des nombres entiers , la notion de divisibilité se prête bien à ces exercices.

Dans l'univers des nombres entiers, en excluant le nombre 1, la notion de divisibilité se prête bien aussi pour des exercices.

Fais le dessin que je proposais (les nombres en rond, en excluant le nombre 1, et des flèches pour relier les nombres quand A divise B)
Si on regarde les nombres premiers (2,3,5,7,11,13,...) il y a des flèches qui partent de ces nombres, mais il n'y a aucune flèche qui arrivent vers ces nombres.
Ces nombres sont tous des éléments minimaux.

Hannaut
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Re: Logique

par Hannaut » 24 Jan 2022, 12:14

Oui, je vois bien la chose, avec un diagramme de Hasse.
Si j'ai bien compris, avec E = {0,1} et P(E)* = {{1}, {2}, E} le singleton {1} est un élément minimal pour l'inclusion. Mais du coup y a aussi {2} donc pas unicité.

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Re: Logique

par lyceen95 » 24 Jan 2022, 12:26

E={1,2} pour être cohérent avec la suite de ton message. (et pas E={0,1})

Les 2 singletons {1} et {2} sont effectivement 2 éléments minimaux dans cet exemple.

GaBuZoMeu
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Re: Logique

par GaBuZoMeu » 24 Jan 2022, 19:29

Bonjour,

Quelque chose me choque dans le premier message ; 2 n'est sûrement pas un élément maximal pour la relation de divisibilité : la preuve, 2 divise 4. Dans avec la relation de divisibilité, il y a un unique élément maximal. Je te laisse voir lequel.

Hannaut
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Re: Logique

par Hannaut » 24 Jan 2022, 22:42

Lapsus :shock: c'est pour les entiers non nuls que je me référé.
Et pour ta question : 0 évidemment.

GaBuZoMeu
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Re: Logique

par GaBuZoMeu » 24 Jan 2022, 22:52

Pour les entiers non nuls, 2 n'est toujours pas un élément maximal pour le relation de divisibilité !! (je répète : 2 divise 4).

Hannaut
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Re: Logique

par Hannaut » 24 Jan 2022, 22:59

J'enchaîne les bourdes. J'écris tout :
Dans N - {1} muni de la divisibilité, 2 est un élément minimal, tous les nombres premiers d'ailleurs.
Dans N - {0}, il n'y a pas de maximum.

Voilà, j'espère que cette fois-ci on est bon :D

 

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