Logique

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
nekochan
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Logique

par nekochan » 11 Nov 2010, 15:33

Bonjour,
je suis actuellement en train de reprendre des cours de logique et je suis assez embarrassé avec certaines notions, en particulier celle de "non appartenance".
La notation signifie-t-elle forcément que E est un ensemble ? Si l'on note , doit-on comprendre que E est l'ensemble vide, ou bien que si E est un ensemble, alors E est l'ensemble vide ?
Merci par avance pour vos éclaircissements :)



Finrod
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par Finrod » 11 Nov 2010, 15:47

Les points de vues varient (deux points de vue non identiques pouvant correspondre à deux théories parfaitement rigoureuse, ou presque)

Donc je ne sais pas si je vais beaucoup t'aider.

Pour moi, E n'est pas un ensemble n'a pas de sens : qu'est ce que ça peut être d'autre ?

Avec la théorie des univers, si un "ensemble" ne vérifie pas les axiome de la théorie des ensemble, comme par exemple l'ensemble de tous les ensembles, c'est qu'il appartient à une univers plus grand, comportant plus d'ensembles (qui vérifient alors les même axiomes).
Il existe ainsi de nombreuses opérations qui obligent à changer d'univers. ça a des avantages au niveau de l'existence des objets mais certains inconvénient pour ce qui est de certaines propriété de commutativité.

Le second truc ressemble bien à une définition de l'ensemble vide mais pour moi elle n'a pas de sens, car le "pour tout x" ne décrit rien de précis, quel est donc la famille de "x" dont on parle ? L'ensemble de tous les ensembles d'un univers donné ? est ce suffisant ? ...

Enfin, bien théorique tout ça. Si tout élément d'un ensemble est un ensemble ça fonctionne bien. Chose qui est soit, vraie par hypothèse, soit découle des axiomes (le contraire serait surprenant en tout cas).

nekochan
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par nekochan » 11 Nov 2010, 16:06

Disons que je trouve bizarre que l'on puisse noter et . Pour moi la non-appartenance n'est pas "du même type" dans ces deux cas. Dans le premier, on compare 2 à chacun des éléments de l'ensemble , et comme 2 ne correspond à aucun d'entre eux, 2 n'appartient pas à . Dans le deuxième cas, 3 n'est pas un ensemble donc aucun élément ne peut appartenir à 3.

Finrod
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par Finrod » 11 Nov 2010, 16:41

Dans la théorie des ensemble , tout est un ensemble.

Soit tu sais l'écrire t donc tu connais son contenu.

Soit tu ne connais pas le contenu, et toute autre notation peut être utilisé, des lettres, symboles donc.

La notation est mal choisie car il faut toujours savoir de quoi on parle. Or la théorie des ensemble ne définit pas les chiffres ! (En fait il y a une bijection évidente avec les ensembles finis à iso prés)

[edit: ok, le passage en gris est une connerie puisque la théorie des ensemble les définit, cela dit la définition des chiffres et bel et bien primordiale]

En gros, c'est comme si tu écrivais et que tu faisait remarquer que de toute façon, un camembert est trop petit pour mettre un Canard dedans, donc c'est impossible. Si on ne dis pas de quoi on parle, ça part dans tous les sens.

Du coup, soit tes chiffres correspondent aux ensembles finis (à iso prés) à 2 et 3 elts. Soit ce sont des mauvais choix de notation, comme cela est courant :

L'ensemble par exemple est un ensemble de 5 élts (le nombre d'elts est ce qui caractérise les ens finis à iso prés) et ces élts sont des ensembles "inconnus", pa forcément les ensembles finis correspondant aux chiffres 1,2,3,4 et 5....

ffpower
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par ffpower » 11 Nov 2010, 16:47

En théo des ensembles, on définit les entiers par 0=ensemble vide et n={0,...,n-1} non? Donc si je me gourre pas, on a bien au final^^

Finrod
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par Finrod » 11 Nov 2010, 16:50

ffpower a écrit:En théo des ensembles, on définit les entiers par 0=ensemble vide et n={0,...,n-1} non? Donc si je me goure pas, on a bien au final^^


Si on prend une définition récursive, comme celle-ci, oui.

C'est toujours plus facile à appréhender qu'un définition à isomorphisme près, et c'est équivalent.

Doraki
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par Doraki » 11 Nov 2010, 16:51

C'est marrant que tu dises ça parcequ' en théorie des ensembles, tout est un ensemble,
et on définit les entiers comme ça :
l'ensemble vide on l'appelle 0,
{0} on l'appelle 1,
{0,1} on l'appelle 2,
{0,1,2} on l'appelle 3, etc.

Et donc y'en a, si tu me dis "2 appartient à 3" je suis d'accord.

Quelquepart on peut tout définir en termes d'ensembles, mais il est d'usage d'oublier que c'en est vu que c'est pas franchement utile.
Donc genre les nombres entiers, les paires et autres n-uplets, ...
Dans ce cadre, une fonction c'est un ensemble de couples (point,image) vérifiant une certaine propriété,
Considérer tous ces objets là comme des ensembles, ça peut se faire, mais c'est juste pour montrer comment on peut faire rentrer tout ce qu'on connaît dans la théorie des ensembles.

nekochan
Membre Naturel
Messages: 28
Enregistré le: 11 Nov 2010, 15:27

par nekochan » 11 Nov 2010, 17:28

Ok, je pense que c'est un peu plus clair. Juste pour confirmation : est-ce que est un axiome ? Se déduit-il d'autres axiomes ?

Doraki
Habitué(e)
Messages: 5021
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par Doraki » 11 Nov 2010, 17:38

Il se déduit de l'axiome d'extensionalité qui dit que 2 ensembles sont égaux <=> ils ont les mêmes éléments.

nekochan
Membre Naturel
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Enregistré le: 11 Nov 2010, 15:27

par nekochan » 11 Nov 2010, 17:42

Ok un grand merci à tous ;)

 

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