Logique / Ensembles.

[Deluxor]

Bonjour à tous,

Je travaille des annales de concours, et voici un exercice de logique et de langage ensembliste, partie du programme que je maîtrise moins.



1) Soit A et B deux ensembles. Ecrire la négation de .
2) Démontrer à l'aide de la table de vérité de "" que est vrai pour tout ensemble A. Comparer les ensembles et {}.
3) Soit A={a,b,c}. Expliciter l'ensemble P(A) des parties de A.
4) Soit A un ensemble. Démontrer qu'il y a plus d'éléments dans P(A) que dans A.


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Voici ce que j'ai commencé à faire :

1) () () Est-ce juste? Dois-je donc écrire la négation de cette proposition?

2) J'ai la table de vérité de l'implication

vrai et vrai => vrai
vrai et faux => faux
faux et vrai => vrai
faux et faux => vrai

3) P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, A}



Merci d'avance.

[Skullkid]

Bonjour, signifie , A n'a pas à être différent de B (ce que tu as écrit correspond à l'inclusion stricte de A dans B, qui est notée différemment, par un symbole non supporté par le LaTeX utilisé par le forum).

Pour la 2, tu dois vérifier que l'implication contenue dans l'assertion est toujours vraie. Pour la 3, c'est bon. Pour la 4, es-tu sûr qu'on ne te précise pas que A est un ensemble fini ? Sinon, ça reste vrai mais il faut donner un sens à "avoir plus d'éléments que" pour des ensembles infinis.

[geegee]

Bonjour à tous,

Je travaille des annales de concours, et voici un exercice de logique et de langage ensembliste, partie du programme que je maîtrise moins.



1) Soit A et B deux ensembles. Ecrire la négation de .
2) Démontrer à l'aide de la table de vérité de "" que est vrai pour tout ensemble A. Comparer les ensembles et {}.
3) Soit A={a,b,c}. Expliciter l'ensemble P(A) des parties de A.
4) Soit A un ensemble. Démontrer qu'il y a plus d'éléments dans P(A) que dans A.


[CENTER]-------------------------[/CENTER]


Voici ce que j'ai commencé à faire :

1) () () Est-ce juste? Dois-je donc écrire la négation de cette proposition?

2) J'ai la table de vérité de l'implication

vrai et vrai => vrai
vrai et faux => faux
faux et vrai => vrai
faux et faux => vrai

3) P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, A}



Merci d'avance.

Bonjour,

http://www.maths-informatique-jeux.com/maths/notations_mathematiques.php
A n'est pas inclut dans B: (B inclut dans A ou A inter B =/0)
il existe x dans B tel que x dans A.

[Deluxor]

Merci à vous!


Pour la 1), c'est donc bien ça? :

() ()

Donc la négation serait :

(A non inclus dans B) ()


C'est bien ça?
Il faut utiliser ça pour la 2?

[Skullkid]

C'est bon pour la 1. Pour la 2 tu ne dois pas utiliser la négation de "A inclus dans B", tu veux montrer que "vide inclus dans A" est vraie quel que soit l'ensemble A.

[Deluxor]

La 2) me pose vraiment problème... Je ne vois pas comment démontrer ça. :/

[Skullkid]

Quelle est la valeur de vérité de "x appartient à l'ensemble vide" ?

[Deluxor]

()

C'est de là qu'il faut partir?

[Skullkid]

Ça c'est que tu veux démontrer. Réponds à ma question : quelle est la valeur de vérité de "x appartient à l'ensemble vide" ?

[Deluxor]

Ça c'est que tu veux démontrer. Réponds à ma question : quelle est la valeur de vérité de "x appartient à l'ensemble vide" ?

Je ne sais pas ce que signifie "table de vérité" mais en gros, comme l'ensemble vide ne contient aucun élément, x n'est rien? :hein:

[Skullkid]

La table de vérité de l'implication c'est ce que tu as écrit plus haut, c'est le tableau qui te permet, connaissant les valeurs de vérité de A et B, de déterminer la valeur de vérité de "A implique B". Ici, A est la proposition "x appartient à l'ensemble vide". Je te demande la valeur de vérité de cette proposition : est-elle vraie ? Est-elle fausse ? Peut-elle être vraie ou fausse selon la valeur de x ?

[Iroh]

Bonjour, signifie , A n'a pas à être différent de B (ce que tu as écrit correspond à l'inclusion stricte de A dans B, qui est notée différemment, par un symbole non supporté par le LaTeX utilisé par le forum).

Bonjour, juste une remarque:

Certains utilisent la notation pour l'inclusion stricte et pour l'inclusion large.

Et d'autres: pour l'inclusion large et pour l'inclusion stricte.

[Skullkid]

Certes, mais ici la question 2 indique que désigne bien l'inclusion large (et c'est la notation la plus courante dans les pays francophones, si je ne m'abuse).

[Deluxor]

Mmmh, donc on veut montrer que :
c'est à dire :
et c'est vrai pour tout x.

C'est sur ça que tu me guidais? ^^

[Skullkid]

Pas exactement, mais ça marche aussi. Ce que je voulais te faire dire que c'est que "x appartient à l'ensemble vide" est faux, quel que soit x, puisque l'ensemble vide n'a aucun élément. En regardant la table de vérité de l'implication, on voit que "A implique B" est vrai dès que A est faux. Donc "x appartient à l'ensemble vide implique x appartient à A" est vrai quels que soient x et A. Ce que tu as écrit est à peu près équivalent, et tout à fait valable.

[Deluxor]

Merci Skullkid!

Pour la 4), si je montre que , ça répond bien à la question?

[Judoboy]

Merci Skullkid!

Pour la 4), si je montre que , ça répond bien à la question?

Y a plus simple si A est fini, tu peux très facilement construire une partie de P(A) qui a card(A)+1 éléments.

Après le résultat général sur card(P(A)) est intéressant donc tu peux aussi montrer ça.

[Heerieinvibly]

Cool It was very helpfull to know i hope to hear more from you. _________________ meter