Dans
Je voudrais montrer que
J'aimerais bien utiliser la formule de Taylor !
Je me suis dit qu'il devait bien y a voir un truc du genre :
Cela signifie que
Logarithme matrice
18 messages
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logarithme matrice
par HanZel » 20 Déc 2009, 18:23
Bonjour,
Dans)
Je voudrais montrer que = H - \frac{H^2}{2}+o(||H^2||))
avec 
(où L est la réciproque de l'exponentielle) en utilisant uniquement la définition de l'exponentielle : =\Bigsum_{k=0}^{+\infty} \frac{M^k}{k!})
J'aimerais bien utiliser la formule de Taylor !
Je me suis dit qu'il devait bien y a voir un truc du genre :=L(I_n)+dL(I_n)(H)+\frac{d^2L(I_n)(H,H)}{2}+o(||H||^2))
Cela signifie que=Id)
et que =-Id)
???
Dans
Je voudrais montrer que
J'aimerais bien utiliser la formule de Taylor !
Je me suis dit qu'il devait bien y a voir un truc du genre :
Cela signifie que
par Ben314 » 20 Déc 2009, 18:37
Salut,
Tout d'abord, fait attention aux objects que tu manipule :
)
est une application linéaire donc on peut écrire .
Par contre)
étant une application bilinéaire, l'écriture "" est... à expliquer !!!
Si tu veut "a la main" trouver le début du D.L. du log matriciel, tu doit prouver son existence (th. d'inversion locale) puis écrire
ou bien 
(localament) et différentier cette expression.
Tu peut aussi trouver de façon théorique, lorsque
est (localement) bijective l'expression des différentielles succéssives de 
en fonction de celles de .
Tout d'abord, fait attention aux objects que tu manipule :
Par contre
Si tu veut "a la main" trouver le début du D.L. du log matriciel, tu doit prouver son existence (th. d'inversion locale) puis écrire
Tu peut aussi trouver de façon théorique, lorsque
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par HanZel » 20 Déc 2009, 19:56
Pour montrer qu'elle existe avec les théorème d'inversion local ça va.
Pour la différentielle première:
Soit)
(0)(H)=dL(\exp(0))\circ d\exp(0)(H) = dL(I_n)(H))
or et (H) = H)
donc
Je pense que là c'est correct, mais pour la différentielle seconde, je ne sais pas du tout...
Avec le TIL on peut montrer que exp est localement un
difféo.
Peut on dire que : Comme=Id)
et que 
alors ???
Pour la différentielle première:
Soit
or
donc
Je pense que là c'est correct, mais pour la différentielle seconde, je ne sais pas du tout...
Avec le TIL on peut montrer que exp est localement un
Peut on dire que : Comme
par Ben314 » 20 Déc 2009, 20:22
Oui, (enfin, leT.I.L. montre plutôt que le log est Cinfini).HanZel a écrit:Avec le TIL on peut montrer que exp est localement un
Cela permet de faire 'ce qu'on veut' comme calculs.
Oui, mais tu l'a démontré 'a la main' juste au dessus donc un seul des deux arguments est suffisant...HanZel a écrit:Peut on dire que : Comme
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par HanZel » 20 Déc 2009, 20:56
"
Pour la différentielle seconde de
Au fait la formule de Taylor est bien correcte? :
Edit : avec
par HanZel » 20 Déc 2009, 21:24
Je voudrais bien un petit conseil pour la différentielles seconde quand même :)
par Ben314 » 20 Déc 2009, 22:08
Pour ta formule de Taylors, ta formule est bonne (c'est la même que pour les fonctions réelles avec des factorielles, sauf que }(x_o)h^n)
devient (h,h,...,h))
)
Pour la différentielle seconde, tu peut
1) Soit faire un 'calcul théorique' en évaluant la différentielle puis la différentielle seconde de (le symbolisme est nettement plus lourd, mais cela revient à dériver la formule '={1\over f'\circ f^{-1}})
pour les fonctions réelles : ca peut être interessant à faire au moins une fois)
2) A écrire plus simplement=H+B(H,H)+o(||H||^2))
où 
est une forme bilinéaire symétrique à determiner et à injecter cette formule dans )=H)
pour déterminer (en fait tu détermine évidement d'abord )
qui est l'application quadratique associée puis tu utilise une des formes de polarisation pour en déduire )
)
La méthode 2) est trés 'gentille'. Je ne me rend pas compte si la 1) est trés "dure" à écrire. Pour la 1), je commencerais évidement par le cas de f fonction d'une variable réelle pour vérifier que les calculs en plus grande dimension 'collent' avec la dim 1.
Pour la différentielle seconde, tu peut
1) Soit faire un 'calcul théorique' en évaluant la différentielle puis la différentielle seconde de
2) A écrire plus simplement
La méthode 2) est trés 'gentille'. Je ne me rend pas compte si la 1) est trés "dure" à écrire. Pour la 1), je commencerais évidement par le cas de f fonction d'une variable réelle pour vérifier que les calculs en plus grande dimension 'collent' avec la dim 1.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par HanZel » 23 Déc 2009, 00:13
Nan il y a un truc que je ne comprend pas :
Si alors  \, dL(I_n)(H)=H)
Si on fixe
et on différentie une nouvelle fois, on a : \;d^2L(I_n)(H)(K)=0)
non?
Si
Si on fixe
par Ben314 » 23 Déc 2009, 00:27
Non, si tu diférentie, faut quand même qu'il y ait au moins une variable !!!
Pour la différentielle seconde, ben... faut différentier la différentielle première. Comme c'est une application linéaire dépendant du point (et on différentie évidement par rapport au point), pour que ce soit plus 'visuel' je te conseillait de différentier la différentielle en un point (variable) mais appliquée à un vecteur fixe.
Bon, je sais pas si c'est trés clair....
Je pensait que chercher la différentielle de(H))
(pour un H fixé) dont les valeurs sont des matrices te semblerait plus simple que de différentier )
dont les valeurs sont des applications linéaaires entre matrices...
Je sais toujours pas si c'est trés clair
Plus pragmatique : il faut différentier(H))
par rapport à M (pour un H fixé)
P.S. Calculer la différentielle(H))
(pour g quelconque) par rapport à H n'a jamais d'intérêt puisque la fonction est linéaire en H.
(c'est pour cela que je préfère la notation.H)
où le . est là pour spécifier 'application linéaire'
Pour la différentielle seconde, ben... faut différentier la différentielle première. Comme c'est une application linéaire dépendant du point (et on différentie évidement par rapport au point), pour que ce soit plus 'visuel' je te conseillait de différentier la différentielle en un point (variable) mais appliquée à un vecteur fixe.
Bon, je sais pas si c'est trés clair....
Je pensait que chercher la différentielle de
Je sais toujours pas si c'est trés clair
Plus pragmatique : il faut différentier
P.S. Calculer la différentielle
(c'est pour cela que je préfère la notation
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par HanZel » 23 Déc 2009, 00:37
Ah, en fait (H)=I_n \times H)
Et(H)(K) = HK= B(H,K))
et là j'ai bien une application bilinéaire, c'est ça?
Je suis désolé Ben de toutes ces questions... merci d'y répondre en tous cas !
(J'espere au fond de moi que je me trompe parce que dans la résolution de mon problème à l'origine il faudrait du
...)
PS: c'est en effet ce que tu dis dans ton PS qui m'a vachement posé de problèmes depuis toujours, je pense avoir saisi maintenant
Et
Je suis désolé Ben de toutes ces questions... merci d'y répondre en tous cas !
(J'espere au fond de moi que je me trompe parce que dans la résolution de mon problème à l'origine il faudrait du
PS: c'est en effet ce que tu dis dans ton PS qui m'a vachement posé de problèmes depuis toujours, je pense avoir saisi maintenant
par Ben314 » 23 Déc 2009, 00:55
Je ne comprend pas bien ton :
Si tu ne connait la valeur de la différentielle qu'en un point (ici en
) tu ne peut absolument rien en déduire pour la différentielle seconde... c'est comme si tu éspérait calculer f''(5) en sachant uniquement que f'(5)=2 pour une fonction de R dans R....
L'application B est effectivement bilinéaire, mais tu ne risque pas de déduire la seconde ligne de la première.HanZel a écrit:
Si tu ne connait la valeur de la différentielle qu'en un point (ici en
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Ben314 » 23 Déc 2009, 01:11
Si tu veux calculer la différentielle seconde en différentiant la différentielle première, cela correspond à la méthode 1 que je t'avais proposé (la plus théorique).
Tu part de :=M)
et tu différentie : )\circ d_L(M)\,(H)=H)
Donc(H)=\left( d_{\exp}(L(M))\right)^{-1}(H))
(où le 
désigne la bijection réciproque de l'application linéaire dans la parenthèse)
C'est cette relation là qu'il faut différentier (en M) et pour cela, il faut commencer par regarder comment on "différentie" le fameux...
Tu part de :
Donc
C'est cette relation là qu'il faut différentier (en M) et pour cela, il faut commencer par regarder comment on "différentie" le fameux
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par HanZel » 23 Déc 2009, 01:34
En repartant au début, (H)=(d\exp(0))^{-1}(H))
et en utilisant la formule pour différentier la réciproque : =(df(f^{-1}(x))^{-1})
Alors si on l'applique à)^{-1})
on a : )^{-1}(H))(K) = (d(d\exp(0))(dL(I_n)(H))(K))^{-1})
? ou bien là je viens de refaire la même erreur?
Alors si on l'applique à
par Ben314 » 23 Déc 2009, 11:25
Non, ce n'est pas la même erreur, c'en est une autre (plus vicieuse...)
La formule est correcte, mais dans cette formule, les 
ne jouent pas vraiment le même rôle :
Les
de désignent la bijection réciproque de la fonction )
[si on était dans R il correspondrait naturellement aussi à des bijections réciproque]
Le de =(df(g(x))^{-1})
(où 
) désigne la bijection réciproque de )(h))
[dans R il correspond)^{-1}={1\over g'(x)})
car la réciproque de h)
est }h)
]
Cela signifie que si on veut différentier la formule, ils ne se différentient pas du tout de la même manière :
Le premier correspond dans R à la formule (pour les bijection réciproques)
Le second correspond dans R à la formule'=\left({1\over f}\right)'=-{f'\over f^2})
(pour les inverse)
Tu constate que, dans R, la même notation peut désigner soit le symétrique pour 
(l'inverse) soit le symétrique pour 
(la bijection réciproque). Evidement, les deux ne se dérivent pas de la même façon.
Conclusion, si on veut aller plus loin dans cette 'veine', il faut chercher comment on différentie la fonction)^{-1})
où 
est une fonction d'un Banach E dans L(F) (ensemble des applications linéaires continues de F dans F) et où le désigne l'inverse dans L(F). La différentielle doit évidement redonner la formule '=-{f'\over f^2})
dans le cas réel.
P.S. Tu constatera à travers tout mes exemple qu'il ne faut jamais perdre de vue que la notion de différentielle généralise celle de dérivée dans R et donc que les résultats doivent 'ressembler' à ceux dans R.
Le lien précis entre les deux est, pour une fonction f de R dans R, on peut calculer sa différentielle ET sa dérivée et on a :(h)=f'(x)\times h)
ce qui signifie que )
est la fonction (linéaire) \times h)
La formule
Les
[si on était dans R il correspondrait naturellement aussi à des bijections réciproque]
Le
[dans R il correspond
Cela signifie que si on veut différentier la formule, ils ne se différentient pas du tout de la même manière :
Le premier correspond dans R à la formule
Le second correspond dans R à la formule
Tu constate que, dans R, la même notation
Conclusion, si on veut aller plus loin dans cette 'veine', il faut chercher comment on différentie la fonction
P.S. Tu constatera à travers tout mes exemple qu'il ne faut jamais perdre de vue que la notion de différentielle généralise celle de dérivée dans R et donc que les résultats doivent 'ressembler' à ceux dans R.
Le lien précis entre les deux est, pour une fonction f de R dans R, on peut calculer sa différentielle ET sa dérivée et on a :
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par HanZel » 23 Déc 2009, 13:36
Alors si je différentie =(\,df(f^{-1}(x))\,)^{-1})
ça me donne:
[formule de la diff de l'inverse g :)^{-1} = - g(x)^{-1} . dg(x) . g(x)^{-1})
]
Donc ici ça fait :=-(\,df(f^{-1}(x))\,)^{-1}\, . \, d^2f(f^{-1}(x))\, . \, (\,df(f^{-1}(x))\,)^{-1})
C'est bien ça?
[formule de la diff de l'inverse g :
Donc ici ça fait :
C'est bien ça?
par Ben314 » 23 Déc 2009, 13:48
La première formule est juste, et la deuxième me semble juste aussi.
Est-ce que cela donne bien le résultat escompté ?
P.S. Tu peut aussi regarder vite fait l'autre méthode que je te suggérais et qui était... beaucoup plus simple.
P.S.2 : dans la deuxième formule, je pense qu'il faut absolument écrire les (H)(K) car sinon, à droite, on comprend que dalle à qui s'applique sur quoi...
C'est à dire, pour h fixé, différentier l'application(h)=(\,df(f^{-1}(x))\,)^{-1}(h))
pour voir où ce retrouvent les 'h' dans le résultat (il ne restera plus que des applications linéaires que l'on appliquera bien évidement à 'k')
Est-ce que cela donne bien le résultat escompté ?
P.S. Tu peut aussi regarder vite fait l'autre méthode que je te suggérais et qui était... beaucoup plus simple.
P.S.2 : dans la deuxième formule, je pense qu'il faut absolument écrire les (H)(K) car sinon, à droite, on comprend que dalle à qui s'applique sur quoi...
C'est à dire, pour h fixé, différentier l'application
pour voir où ce retrouvent les 'h' dans le résultat (il ne restera plus que des applications linéaires que l'on appliquera bien évidement à 'k')
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par HanZel » 23 Déc 2009, 14:50
Mais j'ai encore mon problème du "calculer
Sinon, comme
Je me retrouve avec du
(Si le résultat de
Je sens que ça approche ^^
par Ben314 » 23 Déc 2009, 16:00
Dans le principe (consistant à rajouter des h et des k un peu partout), c'est plus ou moins ça, mais surement pas exactement ça vu que l'on sait que ça doit être symétrique en h,k...HanZel a écrit:
En plus, avant de mettre les h et les k, le point . entre les opérateurs désignaient (plus ou moins) une composée d'applications linéaires alors que là, je vois pas ce qu'ils veulent dire...
En ce qui concerne le
En utilisant une formule de polarisation, on en déduit que
P.S. : tu as (ré)écrit une diff seconde = Id (une application à une seule variable...) :triste:
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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