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par **barbu23** » 01 Fév 2009, 17:19

Bonjour :
J'ai un problème avec un théorème que je saisis encore pas bien dans ma tête, le voiçi ( je vous donne juste le résumé de ce théorème ):
Théorème :
Soient :

un anneau, et

une parite multiplicative de

.
Soit :

un homomorphisme de

modules.
Supposons :

:

( homomorphisme ) tel que :

est un isomorphisme.
Alors :

: homomorphismes de :

modules tel que :

:

avec :

l'homomorphisme induit par

.
Preuve :
Soit

l'homomorphisme induit par

.
Soit :

l'homomorphisme canonique.

s'obtient depuis l'égalité :

est un isomorphisme

Il suffit de le démontrer avec du calcul en verifiant que la formule :

.
Question :
Quel lien y'a-t-il entre l'expression :

et

Merci infiniment !

par **barbu23** » 01 Fév 2009, 19:53

Help please ! thank you ! :help: :marteau:

par **barbu23** » 02 Fév 2009, 02:58

Bonjour :
Pour plus de precisions :
Il y'a avant ce théorème un exercice surquel il fallait se pencher avant de passer à cette partie :
L'exercice dit ( Moi aussi je l'ai pas encore resolu ) :
Soit :

un anneau,

un

module, et

une partie multiplicative de

.
Considèrons l'homomorphisme canoniqe :

.
Montrer que :

Un élément

appartient à

si et seulement si : il existe

tel que :

.

L'homomorphisme

est un isomorphisme si et seulement si pour tout élément de

, l'homomorphisme :

telle que :

est un isomorphisme !
Merci d'avance de votre aide !

par **Doraki** » 02 Fév 2009, 12:51

On met une cédille seulement quand on en a vraiment besoin : quand la lettre qui suit le c est un a, un o, ou un u.

D'abord il faut que tu montres l'exercice, parcequ'il est utilisé pour dire que i est un isomorphisme dans la première partie de la preuve.

Ensuite tu corriges le théorème en remplaçant le

par

dans l'énoncé, parceque montrer qu'il existe un unique morphisme

tel que (un truc qui ne dépend pas de

, c'est vachement dur.

La preuve dit qu'il existe un tel morphisme, à savoir

En effet,

Ensuite tu effaces la phrase qui veut rien dire "il suffit de le démontrer avec du calcul blablabla", tu la remplaces par "L'unicité du morphisme découle du calcul suivant :"

Et maintenant j'peux t'aider :

Donc

par **barbu23** » 02 Fév 2009, 14:55

Merci beaucoup Doraki ! c'est vachement clair maintenant ! :++:
Merci encore une fois !

par **barbu23** » 02 Fév 2009, 16:56

Bonjour :

barbu23 a écrit:Bonjour :
Pour plus de precisions :
Il y'a avant ce théorème un exercice surquel il fallait se pencher avant de passer à cette partie :
L'exercice dit ( Moi aussi je l'ai pas encore resolu ) :
Soit : un anneau, un module, et une partie multiplicative de .
Considèrons l'homomorphisme canonique : .
Montrer que :
Un élément appartient à si et seulement si : il existe tel que : .
L'homomorphisme est un isomorphisme si et seulement si pour tout élément de , l'homomorphisme : telle que : est un isomorphisme !
Merci d'avance de votre aide !

J'ai réussi à résoudre la 1ère question, mais por la deuxime, je ne vois pas comment faire !
Voiçi comment j'ai fait pour :

:

Merci d'avance de votre aide !

par **barbu23** » 02 Fév 2009, 17:02

Voiçi ce que j'ai fait pour

:

Mais, je ne vois pas comment faire pour la suite ! :hum: :cry:

Merci d'avance de votre aide !

par **Doraki** » 02 Fév 2009, 17:13

Pour le 1 il faut montrer que c'est des équivalences, pas seulement des implications.

Pour le 2 ben t'as commencé à chercher quel sens de l'équivalence à montrer ?
Au fait, "mu_s (m/s)" ne veut rien dire, m/s est dans S-1.M et pas dans M.

par **barbu23** » 02 Fév 2009, 17:16

J'ai pensé à mettre :

Et ainsi obtenir la compositon :

Pour que la question

soit vérifié, il suffit de montrer que :

est un isomorphisme !
Est ce que c'est la bonne methode ?
Merci d'avance de votre reponse !

par **barbu23** » 02 Fév 2009, 17:20

Bonjour "Doraki" :

Doraki a écrit:Pour le 1 il faut montrer que c'est des équivalences, pas seulement des implications.

Non, c'est même une équivalence ! pas simplement une implication ! c'est une équivalence ! j'ai corrigé ! regarde maintenant !

par **Doraki** » 02 Fév 2009, 17:22

barbu23 a écrit:

i : M -> S-1M serait la composition de phi_s : M -> S-1M et de mu_s : M -> M !?

Tu peux peut-être chercher à montrer que
i isomorphisme pour tout s, mu_s isomorphisme pour tout s, phi_s isomorphisme,
mais j'vois pas en quoi ça t'aide de complexifier ce que tu dois montrer.

par **barbu23** » 02 Fév 2009, 17:27

Doraki a écrit:i : M -> S-1M serait la composition de phi_s : M -> S-1M et de mu_s : M -> M !?

Tu peux peut-être chercher à montrer que
i isomorphisme pour tout s, mu_s isomorphisme pour tout s, phi_s isomorphisme,
mais j'vois pas en quoi ça t'aide de complexifier ce que tu dois montrer.

Non, je cherche pas à complexifier les choses ! une chose est sûr : c'est que si :

est un isomorphisme, alors forcément :

est un isomorphisme

est un isomorphisme.

par **barbu23** » 02 Fév 2009, 17:36

Le problème est :
Est ce que :

est un isomorphisme

Le problème est que la surjectivité n'est pas vérifiée :

Je ne vois pas comment faire à ce problème !
Merci d'avance de votre aide !

par **Doraki** » 02 Fév 2009, 17:53

Déjà, phi_s n'a aucune chance d'etre un isomorphisme dans le cas général.
Ensuite, toutes les égalités et les compositions dont tu parles ne veulent rien dire par ce qu'elles sont mal formées.

mu_s o phi_s n'existe pas parceque phi_s est à image dans S-1M et mu_s part de M.

i o (phi_s)-1 va de S-1M dans S-1M et donc ne peut pas être la même chose que mu_s, qui va de M dans M.

Donc arrête de vouloir montrer l'équivalence avec de la magie, et montre l'équivalence en séparant les deux implications :

1) Suppose que i est un isomorphisme, montre que tous les mu_s sont des isomorphismes.

2) Suppose que tous les mu_s sont des isomorphismes et montre que i est un isomorphisme.

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