Lipschitzienne ou uniforme ?

[Lostounet]

Hello,

J'essaye d'établir une hiérarchie pour les ensembles des fonctions: "lipschitzienne", "u-continue", "continue", "dérivable", "convexe/concave"... Je voudrais voir si j'y comprends quelque chose.


* Fonction continue

Déjà, la différence entre les deux, c'est que l'u-continuité dit que tant que (x;y) est à moins d'éta, leurs images sont proches à epsilon près. Eta ne dépend donc que du choix du epsilon, qui va a priori convenir pour touts les x y non?
Pour la continuité, ça dit juste que si un point est situé à éta de x, f(x) - f(a) < epsilon.
Je suppose donc que pour un autre "a", ce sera pas le même éta..?

Premier problème : Quel lien existe-t-il entre la continuité par morceaux et l'uniforme continuité?
Je sais que par morceaux c'est encore plus faible que continu mais j'aimerais comprendre réellement pourquoi.

Deuxième problème: Je sais que lipschitzien implique dérivable car je peux majorer le taux d'acroissement par k...
Mais quel est alors le lien entre u-continue et dérivable. Est-ce que l'une implique l'autre, et pourquoi?

Troisième problème: Quelle différence graphique existe-t-il entre la convexité d'une fonction et son caractère lipschitzien? Je sais qu'une fonction convexe est tq l'image de la "moyenne" de deux points est inférieure à la moyenne des images des points... Mais du coup lipschitzien ça se voit comment sur un graphique? Je le vois comme ça: La pente de n'importe quelle droite (xy) avec que l'on trace est toujours inférieure ou égale à un nombre.

Est-ce que cela veut dire que si une fonction est "croissamment lipschitzienne" elle devient convexe?

[Doraki]

Non, fonction continue c'est

Et uniformément continue, c'est

Et k-lipschitzien c'est


Comme tu peux le voir c'est juste le "pour tout x" qui passe derrière le "il existe "
Pour les fonctions uniformément continues, dépend seulement de , et pas de x.
Pour les fonctions continues, dépend de et de x.
Pour les fonctions lipschitziennes, non seulement ne dépend pas de x, mais en plus il dépend de façon linéaire de .

De manière générale tu peux intervertir deux quantificateurs identiques (le pour tout et le pour tout x de la continuité peuvent être échangés selon ton bon plaisir) mais JAMAIS deux quantificateurs différents.

1. elle est bizarre ta question. Il n'y a aucun rapport de plus entre continuité par morceaux et continuité uniforme qu'il n'y en a déjà entre cont;)nuité et continuité par morceaux.

lipschitzien => continuité uniforme => continuité => continuité par morceaux.

exemple de fonction continue par morceaux qui n'est pas continue : f(x) = 0 pour x = 1.

2. lipschitzien n'implique pas dérivable : exemple, f(x) = x sin(log(x)) pour x > 0 et f(0) = 0
dérivable n'implique pas uniformément continue : exemple, f(x) = x²
Par contre, dérivable implique continue.

Cependant, si f est dérivable et si f' est bornée alors f est lipschitzienne (c'est immédiat par le TAF) et tout ce qui s'ensuit.

3. Il n'y absolument aucun rapport entre la convexité et le caractère lipschitzien.

Il y a des fonctions croissantes et lipschitiziennes qui ne sont pas convexes, par exemple f(x) = 2x+sin(x)