"k-lipschitzienne" mais aves les suites

[Dinozzo13]

Bonjour, j'aurais une petite question :

Dans des exercices suites les suites adjacentes, certains exercice proposent des questions du genre :
Montrer que ou encore .
Plus généralement, j'aimerais savoir comment faire pour trouver un réel tel que :
si l'on a deux suites et : .

Merci d'avance :++:

[Skullkid]

Salut, ça va dépendre du contexte, il n'y a pas de méthode a priori... C'est aussi le contexte qui va ou non te guider vers la recherche d'un tel k.

[Dinozzo13]

Ok, prenons un exemple :

et .

Peut-on trouver tel que ?

Si oui, comment ?

[Doraki]

dans cet exemple, on voit assez clairement que log vn - log un ~ 1/nn!,
et donc que (log v(n+1) - log u(n+1)) / (log vn - log un) ~ n/(n+1)² -> 0 (encore mieux que k-lipschitzienne !!)

Ou alors on dit que vn-un = 1/nn! * un, donc (v(n+1)-u(n+1))/(v(n)-u(n)) = n/(n+1)²(1+1/(n+1)(n+1)!) -> 0 aussi.

[Dinozzo13]

Oui pas bête :++:

Une autre petite question tant que j'y suis :

Le plan détude d'une fonction étant :
- Domaine de définition ;
- Parité éventuelle ;
- Limites aux bornes ;
- Calcul de la dérivée et étude de variations ;
- Tableau de variations.

Quel est le plan d'étude pour un suite récurrente de la forme ?
Suivant que est connu ou non ?

[Skullkid]

Étudier une suite c'est principalement donner le plus d'informations possible sur sa monotonie et son comportement asymptotique. Pour les suites récurrentes il faut aussi, en premier lieu, chercher les valeurs de u0 qui font que la suite est bien définie. Le fin du fin c'est de trouver une expression algébrique "simple" de u_n en fonction de n, mais c'est souvent impossible.

Pour la monotonie et le comportement asymptotique de u, l'étude de f va être importante (continuité, monotonie, intervalles stables, caractère contractant éventuel).

Après, comme d'habitude, tout dépend du contexte. Par exemple pour le comportement asymptotique, tu peux te contenter d'une simple limite, ou vouloir un développement asymptotique à tel ordre.

[Dinozzo13]

Après, comme d'habitude, tout dépend du contexte.

Evidemment :++:

Merci bien :+++: