Eq° lin. ordre 1 dim 2, det<0, sol° reelles

[bauzau]

bonjour,

cette question concerne les equations linéaires d'ordre 1 de dimension 2

(*) Y'=A(t)*Y

où A(t) matrice carré 2x2, de determinant négatif

je suis en licence et j'ai encore du mal à comprendre comment on trouve les solutions réelles.


j'ai un exple:


A(t) = ( 0 1 )
( -1 0 )

det=1, trace=0, discriminant du polynome caract.=tr²-4det=-4

on a donc 2 valeurs propres complexes conjuguées:

lambda=i et lambdabar=-i


solutions complexes de (*) = (z1=c1*exp(it) , z2=c2*exp(-it) )
avec z1 appartient à ==ker(A-iI)
z2 appartient à ==ker(A+iI)



...

(ce qu'il me manque)
...



les solutions reelles sont y1=Acost+Bsint
y2=-Asint+Bcost
----> pkoi?


dans ce qu'il me manque j'ai tenté d'utiliser simplement la relation Y=PZ
ou P=(u1,u2) puis en prenant les parties reelles du resultat mais je ne trouve pas le bon resultat

je vous remercie de votre aide

[fahr451]

bonjour

si je comprends bien tu as les solutions complexes et tu cherches les solutions réelles ?

[bauzau]

c'est exactement ca,


sinon excusez moi mais je ne pourrais pas répondre avant un bon moment, mais comme je reviendrai voir vos réponses, répondez moi svp!

merci beaucoup

[fahr451]

une solution complexe est
z = a exp(it) +bexp(-it)

a et b complexes

or une soution réelle est solution complexe donc de la même forme

et il suffit de repasser en cos et sin

z = c cos t + d sint avec c et d complexes a priori mais
c = z(0) donc réel et d = z ' (0) réel

donc une sol reelle est de la forme z = c cost + d sint

c ,d réels la réciproque est claire car cos et sin sont sols ( complexes)comme cbl de exp(+-it)

[bauzau]

je ne comprend pas, as-tu tout lu?

la réponse que j'attend est de dimension 2:

y1=..
y2=..