Limites d'une fonction

[medmed]

SVP j'ai besoin de la réponse cette nuit

Soit f : R→[−1, 1] vérifiant : f(0)=1 et ∀x∈R : f(2x)=2 f^2(x)−1
et lim x→0 (1−f(x))/x^2 existe notée a.

1. Montrer que pour tout θ de [0, π/2] on a : 2θ/π ≤ sin(θ) et cos(θ) ≤ 1 − (θ^ 2)/π .

2. Pour tout entier n on pose : f( x/2^n)=cos(θn) avec θn∈[0, π] .

(a) Montrer que lim x→0 f(x)=1 et que lim n→+∞ θn=0 .

b) Justifier l’existence de N ∈ N : ∀n ≥ N on a : θn+1=θn/2 .

(c) Établir que a est positif et que : f(x)=cos(x√2a) .

[zygomatique]

salut

1/ étudier sur [0, pi/2] les fonctions t --> sin t - 2t/pi et t --> 1 - t^2/pi - cos t

...

[medmed]

merci mais notre prof nous demande une autre methode que l'etude d'une fonction ( soit par integral ... )
sinon merci

[Lostounet]

Utilise la concavité ou la convexité dans ce cas!

[capitaine nuggets]

SVP j'ai besoin de la réponse cette nuit

Soit f : R→[−1, 1] vérifiant : f(0)=1 et ∀x∈R : f(2x)=2 f^2(x)−1
et lim x→0 (1−f(x))/x^2 existe notée a.

1. Montrer que pour tout θ de [0, π/2] on a : 2θ/π ≤ sin(θ) et cos(θ) ≤ 1 − (θ^ 2)/π .

2. Pour tout entier n on pose : f( x/2^n)=cos(θn) avec θn∈[0, π] .

(a) Montrer que lim x→0 f(x)=1 et que lim n→+∞ θn=0 .

b) Justifier l’existence de N ∈ N : ∀n ≥ N on a : θn+1=θn/2 .

(c) Établir que a est positif et que : f(x)=cos(x√2a) .

Tu demandes la réponse alors que c'est contraire à l'esprit du forum. De plus, tu ne fais aucun effort pour rédiger un énoncé clair et lisible (vive le copier-coller de DM...). Je t'encourage donc à relire le règlement du forum, en attendant je ferme la discussion (de toute évidence, ça ne changera rien étant donné que tu voulais ta réponse cette nuit...).