Limites sup et inf

[egan]

Salut tout le monde,

Je n'ai jamais eu l'occasion de voir ces notions donc je m'y suis mis tout seul.
Voilà ce que j'ai trouvé. Dites moi s'il n'y a pas d'erreur. Si il y a d'autres résultats importants à savoir, pourriez-vous m'en faire part ?

1-

2-

3-

4-Une suite converge dans si et seulement si sa limite
inférieure et sa limite supérieure sont égales.

5-Si , alors .

6-Si , alors .

7-Que se passe-t-il si , à partir
d'un certains rang,


11-Y a-t-il un résultat similaire pour les limites inférieures ?

12-

13-Le résultat est-il toujours vrai si l'on échange les limites sup et inf ?

14-Que valent et avec ?

15-Comment faut-il énoncé les propriétes qui relient les limites sup et inf et les valeurs
d'adhérence ?

16-La limite inf est la plus petite valeur d'adhérence.

17-La limite sup est la plus grande valeur d'adhérence.

18-Il a donc une suite extraite qui a pour limite la limite inf et une suite extraite qui a pour limite la
limite sup.

Si vous avez en tête d'autres propriétés importantes, n'hésitez surtout pas à m'en faire part.

Merci d'avance.
@+ Boris.

[girdav]

Bonjour,
est-ce que tu peux éditer le post de manière à numéroter les question ? Ça sera plus simple pour y répondre.

[egan]

J'ai commencé à essayer de tout démontrer. J'ai éclairci quelques points;

7- Je pense que l'égalité devient large en passant aux limites sup et inf.

10-11 J'ai réussi à montrer le point 10. Donc ça a l'air vrai. J'ai fait la même chose avec les limites inf et je trouve un truc du genre:

13- En appliquant le point 12 à (-u_n), ça a l'air vrai.

J'ai l'impression que si je montre que lim sup et lim inf sont respectivement la plus grande et la plus petite valeur d'adhérence, beaucoup de choses vont se démontrer facilement. J'ai essayé de le faire mais je n'y arrive pas. Vous auriez une piste ?

[Maxmau]

J'ai commencé à essayer de tout démontrer. J'ai éclairci quelques points;

7- Je pense que l'égalité devient large en passant aux limites sup et inf.

10-11 J'ai réussi à montrer le point 10. Donc ça a l'air vrai. J'ai fait la même chose avec les limites inf et je trouve un truc du genre:

13- En appliquant le point 12 à (-u_n), ça a l'air vrai.

J'ai l'impression que si je montre que lim sup et lim inf sont respectivement la plus grande et la plus petite valeur d'adhérence, beaucoup de choses vont se démontrer facilement. J'ai essayé de le faire mais je n'y arrive pas. Vous auriez une piste ?

bonjour
Les choses vont peut-être mieux en transformant légèrement la définition
Soit En l’ensemble des valeurs de la suite u d’indice supérieur ou égal à n.
On pose: an = Inf En et bn = Sup En
Alors: an tend en croissant vers limInf u
Et bn tend en décroissant vers limSup u