J'essaie de rendre cohérent mon nouveau bagage en topologie générale avec les définitions de limite de fonctions à variable réelle que j'ai apprises en terminale/L1. Eh bien ce n'est pas si simple. Je n'ai pas envie de parler de filtres, c'est vraiment trop hors programme.
Pour résumer mon petit topo, et c'est là que j'ai besoin d'aide (de confirmer que je ne dis pas n'importe quoi) :
1 - si on transpose directement la notion de limite en topologie générale à la notion de limite réelle, on se retrouve avec la définition de limite non épointée (celle qui est si controversée)
2 - la notion de base de voisinage permet d'avoir une définition avec des boules
3 - si on prends comme base de voisinage l'ensemble des boules ouvertes, on se retrouve avec des inégalités strictes, si on prends comme base de voisinage l'ensemble des boules fermées, on se retrouve avec des inégalités larges
4 - pour retrouver les notions de limite épointée, de limite à gauche, et de limite à droite, il faut utiliser la notion de limite "selon A" où A est un sous-ensemble de l'ensemble de définition de f
Soient :
Ainsi, la limite classique est obtenue en prenant
la limite épointée est obtenue en prenant
la limite à gauche est obtenue en prenant
la limite à droite est obtenue en prenant
Rassurez moi, c'est cohérent tout ça ?
