Limite d’une suite

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Sara1999
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Limite d’une suite

par Sara1999 » 19 Avr 2024, 20:19

Bonjour, est ce qu’il y a une technique pour calculer la limite de la suite:
Sqrt( a1+sqrt (a2+sqrt(a3+….+sqrt(an)))…..) avec an une suite récurrente non constante ( car dans le cas où elle est constante, il suffit de consdérer la fonction f(x)= sqrt(a+x)
Merci d’avance.



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Ben314
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Re: Limite d’une suite

par Ben314 » 19 Avr 2024, 22:23

Salut,
Sans plus de précision concernant la formule de récurrence vérifiée par la suite on ne peut pas dire grand chose, surtout concernant l'éventuelle limite (la convergence, par contre, c'est souvent relativement simple).
Sinon, un truc qu'on utilise assez fréquemment dans ce type de contexte, c'est d'écrire que ton (avec plein de racines), c'est un certain avec une formule de récurrence du type (où les ? ne sont pas les mêmes partout et dépende de la formule liant les )
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Re: Limite d’une suite

par Sara1999 » 19 Avr 2024, 23:16

Merci , ma suite (a_n ) vérifie la relation de récurrence suivante:
a_(n+1)= (a_(n)^2-12a_(n)+42)/6
Mais je n’arrive pas encore à trouver une relation algébrique qui me permet de calculer la limite.

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Re: Limite d’une suite

par Ben314 » 20 Avr 2024, 13:51

Dans ce cas, je pense qu'effectivement une bonne approche pourrait être d'écrire que et où la suite de fonctions est définie par puis
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Re: Limite d’une suite

par Sara1999 » 20 Avr 2024, 19:03

Ce qui me complique la chose c’est que d’un côté j’ai x et d’un autre (x^2-12x+42)/6 .
Puis-je avoir un autre coup de pouce ?
Merci.

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Re: Limite d’une suite

par Ben314 » 20 Avr 2024, 19:48

En fait, avec les valeurs numériques de ta suite récurrente, j'arrive pas à grand chose : en général, le premier truc qu'on fait, c'est de conjecturer la limite de la suite de fonction sauf que là, j'arrive à rien . . .
Tu es absolument certaines de tes valeurs ?
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Re: Limite d’une suite

par Sara1999 » 20 Avr 2024, 20:55

Effectivement, je me suis trompée, c’est un 72 à la fin et non 42 .
Je m’excuse.
En calculant quelques termes de un, il semble que la limite est 6,5 . Comment le prouver?
Merci.

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Re: Limite d’une suite

par Ben314 » 20 Avr 2024, 22:49

Ben non, la limite n'est surement pas un simple réel mais une fonction vu que ça dépend évidement de la valeur initiale (inconnue) de la suite .
Par contre, avec 72 et pas 42, ce qu'on a, c'est que ce qui permet d'avoir une formule close pour en fonction de et de l'inconnue .
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Re: Limite d’une suite

par Sara1999 » 20 Avr 2024, 23:48

La limite de fn est bien sûr une fonction, si mon calcul est bon, j’ai évoqué la limite de un en conjecturant que c’est 6,5.
Sinon pour an j’ai trouvé que an=6( 2^(2^n) +1) .
Mais comment ceci peut m’aider à trouver la fonction limite . Merci .

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Re: Limite d’une suite

par Ben314 » 20 Avr 2024, 23:52

Et ton ça risque pas d'être ça non plus vu que ça dépend de l'inconnue .
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Re: Limite d’une suite

par Sara1999 » 21 Avr 2024, 00:10

Dans l’énoncé a1=30.

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Re: Limite d’une suite

par Sara1999 » 21 Avr 2024, 00:20

Cherchant une fonction f telle que f(x)=racine( x+f( (x^2-12x+72)/6) sous forme de polynôme j’ai trouvé que f(x)= x/6 + 2
Mais …

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Re: Limite d’une suite

par Ben314 » 21 Avr 2024, 16:04

Effectivement, si alors et on doit pouvoir montrer que (et ce résultat perdure pour et ).
Par contre, pour alors et c'est toujours mystère et boule de gomme concernant : j'arrive uniquement à montrer que c'est convergent vers un entre et (voire plus précis) et je suis convaincu que c'est équivalent à du lorsque .
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Re: Limite d’une suite

par Sara1999 » 21 Avr 2024, 16:10

Dans l’énoncé que j’ai entre les mains a1=30 > 12 .
Donc je n’ai aucun espoir peut-être.

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Re: Limite d’une suite

par Sara1999 » 21 Avr 2024, 16:56

S’il vous plait est ce que je peux savoir comment vous avez obtenu cet encadrement ? Merci .

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Re: Limite d’une suite

par Ben314 » 21 Avr 2024, 17:18

Pour un fixé, la suite est croissante (vu qu'à chaque itération, on rajoute un truc positif à la fin de la cascade de racines carrées) et on montre facilement par récurrence sur que, pour tout , (on peut même faire légèrement mieux que 5).

EDIT : sauf erreur, j'ai un peu mieux. Pour
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Re: Limite d’une suite

par Sara1999 » 21 Avr 2024, 20:17

Merci beaucoup.

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Re: Limite d’une suite

par Sara1999 » 21 Avr 2024, 21:34

Pour x=30 , le calcul approchée que j’ai conjecturé, à savoir 6,5 vérifie bien : 6,5 >= racine(3/2 .30 -3) de manière très approchée.

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Re: Limite d’une suite

par Sara1999 » 22 Avr 2024, 19:40

Bonjour, je reste sur ma soif pour déterminer la valeur exacte .
Puis-je du moins comprendre l’idée de l’encadrement de fn(x) ?
Merci .

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Re: Limite d’une suite

par Ben314 » 23 Avr 2024, 00:03

Je pense avoir montré que, pour puis que, pour
ce qui donne bien

Les preuves sont ici
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