Limite d'une suite

[Jérome75]

Bonjour,

J'ai la suite suivante : Un= n^((n+1)/n) - (n-1)^(n/(n-1)) et on me demande de trouver sa limite.
J'ai essayé d'utiliser la forme exponentielle, mais je n'arrive pas à simplifier l'expression ni même à trouver la limite, une idée?

Merci !

[pascal16]

Un= n^((n+1)/n) - (n-1)^(n/(n-1))

(n+1)/n) = (1+1/n) ...

transformée de n^ en exp()

(1+1/n) ln(n) = ln(n) + ln(n)/n


exp ( ln(n) + ln(n)/n) = n*exp(ln(n)/n)

ln(n)/n tends vers 0, on peut prendre l'équivalent des exp(x) en 0

et il reste 3 termes dont 1 qui tends vers 0 et les deux autre on une différence....

[Jérome75]

Bonsoir, merci de votre réponse.

Est-ce que l'on peut utiliser des développements limités aussi? Avec cette méthode, j'obtient :

Un= ln(n/(n-1)) + 1 + o(1) , ce qui tend bien vers 1 quand n -> + inf ?

[Ben314]

Salut,
Oui, tu peut.
A la limite, met tout tes calculs pour qu'on vérifie que c'est correct du début à la fin, mais le résultat final à savoir que la limite est égale à 1 est juste.

[nodgim]

Je dois mal interpréter la formule parce que je trouve une limite à 0. Confirmé sur tableur.

(n+1)/n ----> 1

(n-1) ^ ( n/(n-1)) -----> n-1 puisque n/(n-1) ------> 1.

La différence entre ces 2 expressions ------> - n

n ^ (-n) ------> 0

[Ben314]

(n-1) ^ ( n/(n-1)) -----> n-1

Ca, c'est complètement dénué de sens : si tu fait tendre n vers l'infini, alors ce que tu obtient ne dépend (évidement !!!!) plus de n.

[Ben314]

[Kolis]

Bonjour !
je pense que est la bonne réponse.
Soit
On a de limite 1 en .

Ta suite n'est autre que et, étant dérivable, par formule des accroissements finis, il existe tel que .

Avec tu auras de limite nulle.

[nodgim]

Je suis impardonnable sur ce coup là, tu m'avais déjà repris sur un truc similaire....

Il aurait fallu écrire : (n-1) ^ ( n/(n-1)) / (n-1) -----> 1 qd n-----> oo

ça ne change pas le résultat.

[Ben314]

. . .

L'idée d'utiliser des fonctions et des dérivées plutôt que de rester dans du discret est pas con du tout, mais... il faudrait aussi calculer la dérivée correctement...
Ca te semble pas "à peine louche" graphiquement parlant d'obtenir comme résultat que ta fonction soit équivalente (en +oo) à x->x et qu'elle ait une dérivée qui tende vers 0 (en +oo) ?

A titre d'exercice, tu me montrera que, si une fonction réelle f est définie et dérivable sur ]M,+oo[, qu'elle est équivalente en +oo à la fonction x->x et que la dérivée f'(x) admet une limite finie L lorsque x->oo alors forcément ...

[nodgim]

Je m'étais planté dans les parenthèses de l'énoncé....

[Jérome75]

Bens, pour les calculs, voila ce que j'ai :

Un = n * exp(ln(n)/n) - (n-1) * exp(ln(n-1)/(n-1))

Je pose x = ln(n)/n qui tend vers 0 quand n tend vers +inf
Je pose y=ln(n-1)/(n-1) qui tend vers 0 quand n tend vers l'inf.

je fais le dl de exp(x) et exp(y) à l'ordre 1 et je remplace par n :

Un = n* ( 1+ ln(n)/n +o(ln(n)/n) ) - (n-1)*(1+ln(n-1)/(n-1) + o(ln(n-1)/(n-1))
Un= n+ln(n)+ o (ln(n)) -n+1 - ln(n-1) + o(ln(n-1))
Un = ln(1 +1/(n-1)) +1 + o(ln(n))
Un ->1 ( Car 1/(n-1) ->0 quand n->+inf donc ln(1+1/(n-1)) ->ln(1)=0 )

[Ben314]

Un = n* ( 1+ ln(n)/n +o(ln(n)/n) ) - (n-1)*(1+ln(n-1)/(n-1) + o(ln(n-1)/(n-1))
Un= n+ln(n)+ o (ln(n)) -n+1 - ln(n-1) + o(ln(n-1))
Un = ln(1 +1/(n-1)) +1 + o(ln(n))
Un ->1 ( Car 1/(n-1) ->0 quand n->+inf donc ln(1+1/(n-1)) ->ln(1)=0 )

Rédigé comme ça, ça déconne.
Tout est juste jusqu'à la ligne bleue, mais le problème, c'est qu'un o(ln(n)), ça tend pas forcément vers 0 (par exemple racine(ln(n)), c'est un o(ln(n)) et ça tend vers +oo).
Donc il faut être "plus précis" concernant les D.L. que tu utilise au départ, c'est à dire soit prendre (au moins) un terme de plus dans les deux D.L., soit de raisonner avec des "grand O" : O((ln(n)/n)^2) si tu sait ce que ça signifie (et si tu sait que c'est correct)

[Jérome75]

Okay, j'ai pris jusqu’à l'ordre 2, et j'ai o(ln(n)/n), avec deux termes en plus qui tendent vers 0 quand n->+inf ( ln(n)/n et ln(n-1)/(n-1) )

Pour la rédaction, c'est comment je le rédige, ou c'est juste sur le site ou mes calculs sont pas lisibles ? Car si c'est sur le site, je trouve pas comment mettre des fonctions comme ca a été fait plus haut ^^ .

[Ben314]

En allant à l'ordre 2, c'est effectivement O.K. vu que maintenant tes "termes d'erreurs" ça devient des (avec un carré sur le log) qui tendent bien vers 0.

Sinon, jusque là, c'est à peu prés lisible tes truc en mode texte. Et si tu veut utiliser le MimeTeX du forum pour rendre les formules plus lisibles, y'a un bout de doc très bien fait LA (<- lien)

[Jérome75]

Okay, merci pour l'aide et pour le lien !