Limite d'une suite

[marcopolo20]

Bonjour,

Je n'arrive pas à déterminer la limite d'une suite :

L=ln(1+2L)

Merci de votre aide

[deltab]

Bonjour

Bonjour,

Je n'arrive pas à déterminer la limite d'une suite :

L=ln(1+2L)

Merci de votre aide

Je ne vois pas de suite dans l'énoncé à moins que ce soit (devinette?) .

[Skullkid]

Bonjour, par une étude de fonction tu peux montrer assez facilement que l'équation que tu donnes a deux solutions, l'une étant 0 et l'autre étant comprise entre 1 et 2. La deuxième solution ne peut s'exprimer à partir des fonctions de base (il faut recourir au W de Lambert) mais on peut l'approcher par des méthodes numériques (elle vaut environ 1,26).

[marcopolo20]

Bonjour


Je ne vois pas de suite dans l'énoncé à moins que ce soit (devinette?) .

C'est bien cela.

[deltab]

Bonjour, par une étude de fonction tu peux montrer assez facilement que l'équation que tu donnes a deux solutions, l'une étant 0 et l'autre étant comprise entre 1 et 2. La deuxième solution ne peut s'exprimer à partir des fonctions de base (il faut recourir au W de Lambert) mais on peut l'approcher par des méthodes numériques (elle vaut environ 1,26).

En répondant à Marcopolo20 de cette manière, tu ne l'aides pas à bien écrire l'énoncé de ses exercices. Il a parlé de suite mais pas d'équations (Toujours des devinettes)

[marcopolo20]

J'ai trouver merci. Il est vrai que j'ai écrire une équation mais c'était pour ne pas avoir à écrire la suite qui me paraissait évidente au vu de l'équation mais je comprend maintenant que cela n'est pas rigoureux.

Ensuite, il faut montrer que pour tout entier n, Un est dans l'intervalle [1;alfa]

et Uo=1 ; L=alfa donc cela me paraît logique que Un soit situé entre son minimum et sa limite mais je ne vois pas comment le montrer.

Merci de votre aide

[deltab]

Passes par l'étude de la fonction , tu pourras peut-être conclure.
As-tu pu montré ce résultat

...... l'une étant 0 et l'autre étant comprise entre 1 et 2...

[Skullkid]

En répondant à Marcopolo20 de cette manière, tu ne l'aides pas à bien écrire l'énoncé de ses exercices. Il a parlé de suite mais pas d'équations (Toujours des devinettes)

C'est bien vrai.

[marcopolo20]

Passes par l'étude de la fonction , tu pourras peut-être conclure.
As-tu pu montré ce résultat

oui je penses

[deltab]

oui je penses

détailles un peu pour voir

[marcopolo20]

détailles un peu pour voir

on a Uo=1 et =g(Un)

où pour tout x>-1/2, g(x)=ln(1+2x)

J'ai montrer que :
- g(alfa)=alfa avec la partie précédente de l'exo.
- que pour tout x appartenant à [1;alfa], 0<=g'(x)<=(2/3)
- que la suite Un est strictement positive

Comme on a L=ln(1+2L)=g(L) j'en déduis que L=alfa

[marcopolo20]

[quote="deltab"]Passes par l'étude de la fonction , tu pourras peut-être conclure.



J'ai étudier la fonction g mais je n'y arrive pas.

Il faut aussi montrer que Un est strictement monotone mais pour ça, il faut montrer que Un>Un-1 et je ne vois pas comment, est-ce que le fait que g soit croissante est suffisant.

[deltab]

Bonjour

Passes par l'étude de la fonction , tu pourras peut-être conclure.
J'ai étudier la fonction g mais je n'y arrive pas.
Il faut aussi montrer que Un est strictement monotone mais pour ça, il faut montrer que Un>Un-1 et je ne vois pas comment, est-ce que le fait que g soit croissante est suffisant.

1) Si g est continue monotone, quelle alors l'image g(I) d'un intervalle I=[a,b].
2) Que peux-tu dire sur la suite (monotonie) si tu connais le signe de h(x)=x-f(x)
3) L'existence de la solution >0 de l'équation a été affirmé par Skullkid (sans entrer dans les détails de la démonstration), peux-tu le démontrer?
PS: fais moi savoir quand tu seras en ligne. Moi, je reviens dans une heure.

[marcopolo20]

Bonjour

1) Si g est continue monotone, quelle alors l'image g(I) d'un intervalle I=[a,b].
2) Que peux-tu dire sur la suite (monotonie) si tu connais le signe de h(x)=x-f(x)
3) L'existence de la solution >0 de l'équation a été affirmé par Skullkid (sans entrer dans les détails de la démonstration), peux-tu le démontrer?
PS: fais moi savoir quand tu seras en ligne. Moi, je reviens dans une heure.

1)il y a une bijection : g est continue et strictement croissante sur ]-1/2;+infini[ à valeurs dans [1;alfa] donc g réalise une bijection de ]-1/2;+infini[ dans [1;alfa], en particulier, on a donc : pour tout réel x appartenant à [1;alfa], 1>=g(x)>=alfa mais comme Un tend vers alfa 1>=g(Un)<=alfa non ?
2) je ne vois pas a quoi correspond h(x)=x-f(x) mais pour connaître les variations de la suite
j'étudies le signe de Un+1-Un
3) Dans la partie précédente de mon exo, j'ai montré que f(alfa)=0 ie : (ln(1+2x)/x)-1=0
soit g(alfa)/alfa=1 donc g(alfa)=alfa

[deltab]

Il vaut mieux que tu donnes l'énoncé complet de l'exo, on verra plus clair. C'est ce je devais te demander depuis le début. (J'ai supprimé mes précédents messages)

[deltab]

Bonjour.
Je vais supposer, en attendant l'énoncé qu'on demande de montrer que la suite définie par =1 et est convergente. Pour cela, on va montrer qu'elle monotone bornée.
1) Bornée.
L'étude de la fonction montre qu'elle positive croissante sur .
Si on peut trouver un intervalle borné tel que G(I) subset I , les éléments de la suite vont donc appartenir à I et la suite sera bien bornée. On a . Si on peut trouver un point tel que on aura et même . Considérons la fonction h(x)=x-g(x) , elle est continue et vérifie , le TVI appliqué à et la croissance de h (sur [1,2] assure l'existence d'une solution unique de l'équation h(x)=0. En notant par cette solution, on aura d'où le résultat: la suite est bornée.
2) Monotonie.
Son étude sera faite en étudiant le signe de h(x)=x-g(x) sur l'intervalle [0,\alpha].
A demain après-midi

[marcopolo20]

Bonjour,

Voici les liens

https://mega.co.nz/#!PMJ3VIqC!MLcYGXCMvaIEcKcSJ8fTY2y-JzXNxS2S6-EOrRQ8OxY
https://mega.co.nz/#!6AxGjQqY!HsyqKU1rgQu7YhyEMhWRGy5YHF3FFO2xMgE42dFpx4I

[deltab]

Bonjour.

Bonjour,
Voici les liens
https://mega.co.nz/#!PMJ3VIqC!MLcYGXCMv ... -EOrRQ8OxY
https://mega.co.nz/#!6AxGjQqY!HsyqKU1rg ... gE42dFpx4I

Même si on arrive au même résultat concernant la convergence de la suite (U_n), la démarche que je proposais de faire et celle de l'énoncé sont différentes. Je garde les notations de l'énoncé de l'exercice.
1) Remarque hors sujet: L'étude de la fonction aurait été plus simple si on avait pris au lieu de .
2) a été déterminé grâce au TVI appliqué à f.
3) Tu as été bloqué au niveau de l'équation (Partie 2) question 4). On a déjà 2 solutions à exclure et , la réponse à la question 1) devrait donner : . (Reste à montrer que \alpha est unique)
4) Question 5-a) Il suffit de montrer que .
5) Question 5-b) Étudies le signe de la fonction sur . Que peut-on conclure sur le signe de ?

[marcopolo20]

4) Question 5-a) Il suffit de montrer que .

oui mais je ne vois pas comment

[marcopolo20]

5) Question 5-b) Étudies le signe de la fonction sur . Que peut-on conclure sur le signe de ?

U'(x)=g'(x)-1

pour tout x appartenant [1;alfa], 00