Limite d'une suite d'intégrales

[shar]

Bonsoir,

J'avais à étudier la limite de la suite (vn) définie par :

Pour ça j'ai réalisé 2 Intégration par parties , pour trouver que:

Donc une limite égale à + l'infini , est ce que ça vous semble cohérent?

Merci d'avance.

[Ben314]

Salut,
J'ai plus de gros doute vu que la première majoration qui vient immédiatement à l'esprit, à savoir que (vu que ) montre déjà que pour tout entier .

[pascal16]

donne tes u, v et les étapes principales de tes IPP
pour n=5, wolfram trouve 0.68 et dans l'IPP, il me semble qu'un morceau ne soit pas intégrable directement

2√2-2 par un passage à la limite vite fait

[edit] avec ce que dit Ben, tu as même un encadrement entre 1/√2 et 1

[LB2]

Bonsoir,

Je crois qu'en posant u=t^n et en appliquant le théorème de convergence dominée tu peux montrer que la limite vaut ln(2) (mais je dis peut être des bêtises et j'ai un peu la flemme de faire le calcul)

[Rdvn]

Bonjour Shar
Si tu cherches encore une solution, je peux t'en proposer une, qui évite l'utilisation du théorème de convergence dominée de Lebesgue (ce théorème donne la solution la plus aisée, encore faut il qu'il soit au programme).
Cordialement
Rdvn

[pascal16]

comme je suis rouillé, même si Shar à la correction de son prof, ta réponse m'intéresse

voici ce qu'on mon humble niveau m'a permis :
u=2t , v'=(ntⁿ⁻¹)/2√(1+tⁿ) ... écrit sans Latex, c'est pas top

on trouve
2√2-∫2√(1+tⁿ)
la seconde fonction tend simplement vers 2 sur [0;1[ (uniformément sur [0;1-α]) , par passage à la limite à justifier, ça donne :
2√2-2

[Ben314]

Je crois qu'en posant u=t^n et en appliquant le théorème de convergence dominée tu peux montrer que la limite vaut ln(2) (mais je dis peut être des bêtises et j'ai un peu la flemme de faire le calcul)

Oui, un peu...
Si on commence comme l'a fait (semble t-il) shar, c'est à dire une (et une seule) intégration par partie, on tombe sur une limite triviale qui peut se faire uniquement par majoration/minorations évidentes de l'intégrale (pour la majoration, il faut juste penser à couper l'intervalle en deux : de 0 à 1-epsilon puis de 1-epsilon à 1).

[Ben314]

2√2-∫2√(1+tⁿ)
la seconde fonction tend simplement vers 2 sur [0;1[ (uniformément sur [0;1-α]) , par passage à la limite à justifier, ça donne :

Oui, ça marche aussi comme ça, mais tu peut même éviter d'utiliser la C.V. uniforme vu que sur [0;1-α], il suffit d'encadrer bêtement le √(1+tⁿ) pour conclure (ce qui est normal vu qu'en fait ta "convergence uniforme", ben c'est de la convergence uniforme... vers une constante...)

[Rdvn]

Bonsoir à tous,
mes excuses pour la mise en forme, peu orthodoxe :
rc(x) désignera la racine carrée de x >0 , et int(f(t)) désignera l'intégrale de f (continue) de 0 à 1.
Je pense que chacun à commencé par une intégration par partie avec u(t)=t et
v'(t)=n*t^(n-1)/rc(1+t^n) (ou variante). il reste à s'occuper de la limite de int(rc(1+t^n) ), j'avais aussi pensé à la solution de Ben (découpe à 1 - epsilon) mais j'ai redouté qu'elle ne soit trop difficile à exposer pour un débutant.
Voici une autre piste (point de départ : rc(1+t^n) a pour limite 1 sauf pour t=1)) :
on pose d(n) = int(rc(1+t^n) -1), on observe que rc(1+t^n) -1=t^n/rc(1+t^n) +1 , on encadre numériquement
1/rc(1+t^n) +1, pour t variant de 0 à1, et on en déduit un encadrement de t^n/rc(1+t^n) +1, de là une fin aisée par int(t^n).
Cordialement
Rdvn

[LB2]

Ma réponse avec ln(2) était pour un dénominateur 1+t^n, sans racine...
Avec la racine carrée, le théorème de CV dominée s'applique bien, et on trouve effectivement

Après il faut évidemment privilégier la méthode la plus simple, comme l'IPP ici.

[Lostounet]

Salut,
Perso j'ai tenté le changement de variables u=sqrt(1+t^n)
Donc du/dt = nt^(n-1)/(2u) alors dt = 2u du /(n *t^(n-1))

Ce qui m'a fait apparaître assez clairement des bornes de 1 et racine(2) et un facteur 2 à l'extérieur.
L'intégrande donnait un truc du style (u^2-1)^(1/n) du.
Donc là on voit que la fonction 'tend vers 1' (convergence dominée etc..) et cela permet de conclure.

J'ai ensuite tenté d'autres changements de variables trigonométriques (comme par exemple u= -cosh(t)) pour échapper au TCD sans trop y parvenir.