Limite d'une somme

[mingang]

Bonsoir,
Je suis en prépa et j'ai un exercice sur lequel je rencontre quelques difficultés. J'ai réussi la majeure partie des questions, mais l'avant dernière me pose problème. Je vous poste mes réponses et la question.
Sujet : https://drive.google.com/file/d/1mMcETuxEwibtSGtptsndNlGRsOywWsq8/view?usp=sharing
Mes réponses de la deuxième partie : https://drive.google.com/file/d/1qh2BGM7xPVyN9LMeY-3nI2Bq3RLYK0Io/view?usp=sharing

La dernière question pour aboutir à la limite est de montrer que pour tout n>=0, (-1)^n * u(n) - u(0) = Sn - 1
Je bloque ici. Je me doute qu'il faut réutiliser le résultat de la question précédente, et qu'il y a peut être une histoire de télescopage, mais impossible de trouver.

Merci de votre aide.

[pascal16]

tu as du tomber sur du 1-t²+t^4....
il faut reconnaitre une suite géométrique de raison (-t²)
tu appliques la somme de termes d'une suite géométrique

[Rdvn]

Bonjour
Je pense que la question qui pose difficulté est la 2d avec Sn - 1
Il y a un problème de réindexation pour pouvoir exploiter l'égalité précédente.
(on a du 1/(2k+1) dans Sn et du 1/(2n+3) dans l'égalité prouvée)

Pour n >1 , on commence par écrire
Sn=1+S(-1)^k/(2k+1) où S est la somme pour k de 1 à n
On réindexe j=k-1 (j de 0 à n-1) on récupère du 2j+3 et on peut alors utiliser le procédé télescopique (somme "en domino") : on a bien l'égalité du texte.
Il vous faudra u(0)
Pour cela intégrer 1+(tan(t))^2 de 0 à Pi/4 , primitive classique, puis on a u(0)
Bon courage (proposez vos essais, au besoin...)