Limite

[KUIP32]

Bonjour, je bloque sur une question d'un exercice, une limite qui je pense est toute simple mais je galère...

Calculer la limite de h(x) en 1 :

[ln(2-x) ]/ [x+ 3racinedex - 4]

(je n'arrive pas à utiliser l'outil mathématique)

merci d'avance

[Sake]

Bonjour, je bloque sur une question d'un exercice, une limite qui je pense est toute simple mais je galère...

Calculer la limite de h(x) en 1 :

[ln(2-x) ]/ [x+ 3racinedex - 4]

(je n'arrive pas à utiliser l'outil mathématique)

merci d'avance

Salut,

tu as du 0/0, mais ce n'est pas un problème pour peu que tu t'y prennes astucieusement.

La fonction x -> ln(2 - x) est définie si tant est que 2 - x > 0, c'est-à-dire sur ]-infini,2[. Alors en 1, ln(2 - x) a le même comportement que ln(1 - x) pour x -> 0. ln(1 - x) = -x + O(x²) donc en 1, ln(2 - x) est équivalent à -x au premier ordre.

En 1, sqrt(x) est équivalent à sqrt(1 + x) si x tend vers 0. sqrt(1 + x) = 1 + x/2 + O(x²)

Alors au premier ordre :

En 1, [ln(2 - x)]/[x + 3sqrt(x) - 4] = (-x + O(x²))/(3x/2 + O(x²)) en 0. Finalement, lim [ln(2 - x)]/[x + 3sqrt(x) - 4] = -2/3 en 1.

[nodjim]

Sake, il me semble que tu as omis le x du dénominateur.

[KUIP32]

Merci de ta réponse.

Cependant, je ne comprends pas tout.

Pourquoi en 1, ln(2-x) a le même comportement que ln(1-x) ?

je ne comprends pas cette égalité :

[ln(2 - x)]/[x + 3sqrt(x) - 4] = (-x + O(x²))/(3x/2 + O(x²))

[zygomatique]

salut

posons et

alors trivialement

:zen:

[KUIP32]

:o:o:o:o:o::o: :(

[Sake]

Sake, il me semble que tu as omis le x du dénominateur.

My bad ! :hum:

Joyeuses fêtes à vous tous !

[nodjim]

Zygomatique, ça s'appelle règle de l'hôpital, ça ?

[zygomatique]

Zygomatique, ça s'appelle règle de l'hôpital, ça ?

certains (parfois pédant) l'appelle ainsi .... :ptdr:

d'autre en terminale (comme moi dans ce post) l'appelle reconnaître un quotient de deux taux de variation (au même point bien sur) .... :lol3:

et dans reconnaître il y a bien sur savoir ce qu'est un nombre dérivé ... :zen:

[KUIP32]

Tu pourrais m'expliquer stp ?

[paquito]

Salut et bonne année,

coucou zygo de porc aux fines herbes!
ça s'appelle bien la règle de L'Hôpital; j'ai vu ça en TC en 1973 et ça se démontre dans le cadre du programme ( devoir maison) pour le cas quand. Et L'Hôpital ne se moque pas de l'infirmerie!
Bye!

[nodjim]

Je connais, mais je ne me souvenais pas l'avoir vu en TC 1976. La démo ne me parait pas insurmontable. En revanche, je me demande si la démarche de Sake est bien au porgramme de TC (développement limité d'ordre..)

[Sake]

Salut et bonne année,

coucou zygo de porc aux fines herbes!
ça s'appelle bien la règle de L'Hôpital; j'ai vu ça en TC en 1973 et ça se démontre dans le cadre du programme ( devoir maison) pour le cas quand. Et L'Hôpital ne se moque pas de l'infirmerie!
Bye!

Je t'avoue que je ne l'ai jamais utilisé sauf dans de rares cas académiques

[KUIP32]

Quelqu'un pourrait m'aider svp ?

[Ben314]

Qu'est-ce qu'il y a qui ne te va pas dans ce que t'as mis Zigomatique à 14h13 ?

[KUIP32]

Il manque pas le -4 ?

[Ben314]

Ok, c'est effectivement totalement impossible de s'en sortir : je te le refait correctement :

salut

posons et

alors trivialement
Qui est le résultat demandé vu que g(1)=4

:zen:

ça te va maintenant ?

[KUIP32]

je comprends rien :(

[Ben314]

Rappel ( ) lorsqu'une fonction est définie au voisinage d'un réel et que la limite existe, alors on dit que f est dérivable au point a et la limite en question est appelée nombre dérivée de f au point a et est notée

Tu applique ça aux fonctions f et g de Zigomatique et ça te donne la limite demandée.

[mrif]

je comprends rien

Est-ce que tu connais la définition d'un nombre dérivée?
Autrement dit, si f est une fonction de R dans R, et un élément de R, que signifie ?

.
Autre chose à savoir: quand on étudie la limite de f(x) en , par définition, x est différent de , et donc est non nul.

Avec ces précisions, la solution proposée par zygomatique, me parait claire et rigoureuse.

Autre solution voisine:
Si on désigne par N(x) et D(x) respectivement le numérateur et le dénominateur de h(x), comme , on a:
et donc



Comme x est différent de 1, on peut diviser les termes de la fraction précédente par x-1 et on obtient:

, si est non nul, ce qui est le cas.