Limite

[_Jarvis_]

Bonjour,
j'ai été un peu étonné en voyant cette définition (page 1, définition 1) pour la limite d'une fonction:
http://www.infiniment.com/documents/CM/1A/limitesetcontinuite
en effet, si on prend la fonction f définie par: f(x)=x si x différent de 0 et f(0)=1
avec cette définition on doit en conclure que lim(en 0)f = 0 ???
merci de m'éclairer !

[Jouailleur]

C'est exactement ça. La limite de f en 0 est différente de sa valeur en 0, ce qui signifie simplement que f n'est pas continue en ce point.

[Ben314]

Si tu cherche un peu partout, ben tu verra que tu risque de rencontrer les deux possibilités de définitions : celle où on enlève le point a et celle ou on le laisse.
Normalement, lorsque la notion de limite dans les espaces topologiques "généraux" (niveau L3-M1), ça correspond plutôt à la définition où le point a n'est pas exclus (donc pas celle de ton texte).
Si on veut être pédant, dans le cas où on enlève le point a dans la définition, on parle de "limite épointée" (voir sur wiki par exemple)

Evidement, les deux définitions ne coïncident pas vu que par exemple avec la fonction dont tu parle, il y a une des définition qui donne 0 comme résultat et l'autre qui donne "pas de limite".

Qu'on prenne une définition ou l'autre ne change pas grand chose dans la pratique.
Par contre le truc qui ne va VRAIMENT pas du tout dans le papier en question, c'est le début où on considère un intervalle I de R contenant a puis des fonctions définies sur I.
En partant avec ce point de vue là, tu n'a pas le droit de parler de la limite de f(x)=sin(x)/x lorsque x->0 vu que 0 n'est pas dans un intervalle sur lequel f est définie.

[_Jarvis_]

Ha d'accord mais du coup le théorème qui dit que si la limite à droite et à gauche d'une fonction en a sont égales à f(a) alors la lim de f en a est égale à a devient faut avec la définition du papier ?
Y a t il une définition à privilégier ?

effectivement, comme quoi il faut faire attention à ce qu'on peut trouver sur internet !

[Ben314]

Le truc que tu dit, ça marche avec les deux notion vu que tu as demandé non seulement que les limites à droite et à gauche soient égales, mais en plus qu'elle soient égales à f(a).

Par contre, si tu suppose juste que les limite à droite et à gauche existent et sont égales (mais pas forcément égales à f(a)) alors ça te dit que la limite "épointée" va exister vu qu'à peu prés tout le monde est d'accord pour dire que lorsque l'on calcule la limite "à droite" (ou "à gauche") du point a, ça signifie qu'on se restreint à x strictement plus grand que a (ou x les deux définition sont les mêmes dans ce cas là vu que f(a) n'existe pas.
2) Soit a est dans le domaine de définition et tu cherche à savoir si f est continue en a, c'est à dire si la limite est égale ou pas à f(a) -> les deux définition donnerons le même résultat. La seule différence, c'est qu'avec la limite "épointée" tu risque d'avoir une limite qui existe mais qui est différente de f(a) alors que dans le même cas avec l'autre définition, tu n'aurais pas eu de limite mais dans les deux cas, le bilan est le même : elle n'est pas continue en a.
3) Soit a est bien dans le domaine de définition mais ce que tu cherche à évaluer c'est la dérivée ou un truc du style avec un dénominateur égal à x-a (ou une puissance de x-a) et donc le truc dont tu cherche la limite n'est pas défini au point a et de nouveau les deux définitions coïncident.

[_Jarvis_]

Je ne comprends pas pourquoi ça marche avec les deux notions.
Si on reprend le premier exemple le théorème va dire que la limite n'existe pas (car les deux limites ne sont pas égales à f(a)) et avec la définition du papier la limite existe et vaut 0.
Ou alors si on veut que le théorème soit en accord avec le papier, on doit enlever l'hypothèse que ça doit être égal à f(a) non ?

Oui c'est vrai que ça ne change pas grand chose. En fait je me posais juste la question car j'aime comprendre en profondeur et j'avais l'impression de ne pas comprendre quelque chose à cause des définitons qui sont différentes
Mais merci de m'avoir éclairer, ça m'enlève vraiment un poids ! :++:

[Ben314]

Oui,, mais si on prend texto ce que tu avait afirmé, à savoir :

...le théorème qui dit que si la limite à droite et à gauche d'une fonction en a sont égales à f(a) alors la lim de f en a est égale à a devient faut avec la définition du papier ?

(dans lequel il y a une faute de frappe : il faut évidement lire "la lim de f en a est égale à f(a)" à la fin)
Alors dans les deux cas de définition ça marche.
Et si on cherche à l'appliquer à l'exemple de ton premier post, ben on ne peut pas vu que les limites à droite et à gauche existent, sont bien égales (à 0), mais elles ne sont pas égale à f(a) (=1)

Ce qui ne marcherais qu'avec la définition "épointée", c'est :
La limite existe si et seulement si les limites à droite et à gauche existent et sont égales.

Alors que dans le cas de la définition "non épointé", le résultat qu'on aurait, ça serait :
La limite existe si et seulement si les limites à droite et à gauche existent et sont toute les deux égales à f(a).

Et fait gaffe dans tes rédactions à ne pas écrire des truc comme celui ci dessus dans lequel tu écrit "si la limite à droite et à gauche sont égales alors...".
Prend bien l'habitude dés le début d'écrire "si les limites à droite et à gauche existent et sont égales alors..." : ça t'évitera d'oublier ce qui est l'essentiel dans la plupart des exos, à savoir de commencer par montrer que les limites existent avant de parler de la valeur qu'elles ont.

[_Jarvis_]

C'est très clair ! Encore merci de ton aide

Je comprends, ça permet de ne pas faire des raisonnements du genre: lim f = lim ... = lim ... sans avoir prouvé au préalable que la limite existait