Limite sup et inf

[gorgiel]

Bonjour,

Dans mon cours d'analyse , on a définit les limites sup et inf de la façon suivante:
Soit , on pose . Puis, on pose la limite sup de comme étant le suprémum de E et l'infimum de cet ensemble pour la limite inf.

Mon problème est que je n'arrive pas à calculer ces limites car je n'arrive pas à trouver l'ensemble E.
J'y suis arrivé pour les suites . Mais pour d'autres suites comme je bloque.
Quelqu'un pourrait m'expliquer comment trouver cet ensemble E? Puisque à priori trouver le sup et l'inf de cet ensemble ne devrait pas être trop compliqué.

Merci d'avance,

[GaBuZoMeu]

Le cas des suites que tu donnes en exemple est pourtant beaucoup plus simple, puisque ce sont des suites qui convergent.
Quelle peut être la limsup et la liminf d'une suite qui a une limite ?

[gorgiel]

Si je ne me trompe pas, les limsup et liminf vont converger vers la limite de la suite, mais j'aimerais savoir comment calculer ces limites dans le cas où la limite n'existe pas forcément (mais effectivement mes exemples ne sont pas les mieux choisit).

[GaBuZoMeu]

Limsup et liminf ne "convergent" pas, ils sont la limite de la suite quand celle-ci existe.
Après, quand la suite n'est pas convergente, il faut comprendre quelles sont les valeurs d'adhérence d'icelle (je trouve ça joli, "icelle").

[chombier]

Bonjour,

Dans mon cours d'analyse , on a définit les limites sup et inf de la façon suivante:
Soit , on pose . Puis, on pose la limite sup de comme étant le suprémum de E et l'infimum de cet ensemble pour la limite inf.

Mon problème est que je n'arrive pas à calculer ces limites car je n'arrive pas à trouver l'ensemble E.
J'y suis arrivé pour les suites . Mais pour d'autres suites comme je bloque.
Quelqu'un pourrait m'expliquer comment trouver cet ensemble E? Puisque à priori trouver le sup et l'inf de cet ensemble ne devrait pas être trop compliqué.

Merci d'avance,

Si on a une suite à valeurs dans , l'ensemble des réels qui sont limie d'une sous-suite de est confondu avec l'ensemble des valeurs d'adhérences de la suite :



Autrement dit, quel que soit l'intervalle ][ considéré, la suite y passe une infinité de fois (dans mon esprit je pense la à comète de Halley, elle finira toujours par repasser à proximité)

Avec ça on voit que la suite est convergente de limite , alors , et donc que la limsup et la liminf ce cette sont identiques et égales à .

[GaBuZoMeu]

Chombier, ta définition de valeur d'adhérence n'est pas correcte.

[chombier]

Merci ! J'ai corrigé