Bonjour, je bloque sur quelques exercices. Je dois montrer si ces suite sont convergente ou divergente et dois trouver la limite si la suite est convergente.
2nd exo:
P est une fonctions polynomiale de R dans R, ie avec .
Zn une suite réels supposée convergente
Je dois montrer que Lim P(Zn) = P(Lim Un) en l'infini puis avec une fonction continue f de R dans R. De même mais pour une fonction de C dans C.
Ce que je j'ai fait:
1) est une suite oscille entre -1 et 1.
En niant la défnition de la convergence d'une suite, on a:
et
En prenant et en se plaçant dans le cas où Sin(n^3) vaut sa borne supérieur :
on Contradiction, donc cette suite n'a pas de limite.
Je vois pas comment le montrer.
2) Pour Sn, j'ai extrait 2 suites: et :
a)
b)
a):
tend vers +infini car
De même b) tend vers -infini en majorant par
Donc diverge et n'a pas de limite.
3) Pour , j'ai pas trop d'idée. Je dois le montrer sans utiliser le théorème des séries alternées étant donnée qu'on étudie pas les séries cette année.
Pour le 2nd exo:
Vu que c'est une égalité, je dois le prouver dans les 2 sens:
Soit L la limite de ,
Dans l'autre sens:
Avec une fonction continue:
Supposons que tendent vers a, il existe N dans l'ensemble des entiers tel que
On a alors:
donc Lim f(un) = f(lim Un) = f(a)
Je sais pas comment montrer dans le sens indirect/la réciproque.
Merci d'avance.