Limite de suite

[Benk]

Bonjour à tous, et bonne année tout d'abord,

voici un petit exercice sur les suites ( PCSI ):

[INDENT]Pour on pose et

1) Déterminer :

2) En remarquant que pour tout , , montrer que pour , avec M majorant de
Et déduire que est majorée puis qu'elle converge, sans chercher à calculer sa limite..[/INDENT]

Voila, alors pour la 1, j'ai essayé en utilisant les équivalents, en encadrant la suite, en étudiant les variations, mais je n'ai pas réussi.. une piste svp??

Pour la 2, j'ai essayé de montrer l'inégalité par récurrence, mais je n'ai pas aboutis.. et je n'ai pas trouvé d'autre moyen d'arriver à mes fins..

Voila, merci d'avance pour toutes les réponses que vous pourrez me donner, et bonne soirée..

[bend]

1- Pour la limite de an :

voire que an= ln(n) / exp(n*ln(4/3))
an= (ln(n) / n) * [(n*ln(4/3) / exp(n*ln(4/3)] * 1/ln(4/3]

Utilise des limites de bas que tu connais (ln(N)/N-->0 et N/exp(N)--->0 quand N--> +infini)


2- Pour la deuxieme question considere la fonction : definie sur [1,+infini [

f : x----> ln(x)* exp(-ax) // avec a= ln(4/3)
-- calcucler f'(x) et f'' (x)
-- demonter que f' admet une racine c (cad f'(c) = 0)
-- remarque que f" (x) <0 et deduire que f admet un maximum M en x=c (tu peux montrer que M = (a)^c / ac)

---- deduire que quelque soit n an<= M

--- deduire que Sn <= M (somme (k=1 ,n) (2/3)^k))

-- Puisque (2/3)^k) est geometrique [U]alors deduire le resultat demader


---- Pour monter la convergence de Sn , a patire de l'ingalite montrée et en remarquant que (2^(n+1) /3^n) *M = o (M)

deduire que Sn est majorée .

et puis que Sn est à termes positifs donc , elle est croissante

Conclure !!!