Limite de suite de rationnels
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 16 Aoû 2018, 10:07
Bonjour,
J'ai plusieurs problèmes de compréhension sur cet exemple donné dans mon livre.
Soient les suites définies par :
et
On montre que ces 2 suites sont strictement monotones pour
et qu'elles sont adjacentes. Jusque là tout va bien.
Elles convergent vers une limite l tel que :
(cours)
1/Je ne comprends pas comment déterminer une valeur approchée à
de cette limite.
On sait que
et
sont adjacentes donc elles ont la même limite :
Et là je bloque.
Je parlerai du 2ème point quand j'aurais compris celui-là pour ne pas trop m'éparpiller.
Modifié en dernier par
mehdi-128 le 16 Aoû 2018, 11:35, modifié 1 fois.
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Kolis
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par Kolis » 16 Aoû 2018, 10:13
Bonjour !
Incroyable que tu n'arrives pas à voir qu'avec
tu auras une valeur approchée par défaut en prenant
, une valeur par excès en prenant
et la précision meilleure que
A noter que "elles converges" n'est pas très correct...
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LB2
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par LB2 » 16 Aoû 2018, 10:16
Bonjour mehdi-128,
rien n'est clair dans ce que tu dis, on ne sait pas ce que tu affirmes, ce que tu veux démontrer, ce que tu ne comprends pas...
Pose une question claire et bien définie mathématiquement, et tu verras que très souvent, bien poser ta question te permettra de résoudre ta difficulté tout seul.
Cordialement
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 16 Aoû 2018, 11:35
Kolis a écrit:Bonjour !
Incroyable que tu n'arrives pas à voir qu'avec
tu auras une valeur approchée par défaut en prenant
, une valeur par excès en prenant
et la précision meilleure que
A noter que "elles converges" n'est pas très correct...
Absolument rien compris.
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 16 Aoû 2018, 11:50
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Mimosa
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par Mimosa » 16 Aoû 2018, 15:30
Bonjour
C'est vrai que c'est difficile de comprendre ce qui t'embête! Tu sais que les suites sont adjacentes et que
. Comme
, On a
, donc
est une valeur approchée de
à
près. Comme tu la veux à
près, n'importe quel rang
tel que
fait l'affaire!
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 16 Aoû 2018, 15:57
Je viens de revoir la définition de valeur approchée :
Une valeur approchée a d'un réel x à
près est un réel a tel que :
Ensuite :
donc :
Donc :
L'inégalité stricte ou large a une importance ?
Ensuite je comprends pas pourquoi pour trouver la valeur approchée de l on fait :
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Mimosa
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par Mimosa » 16 Aoû 2018, 16:02
On ne fait pas
, mais
. Mais
convient aussi!
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 16 Aoû 2018, 16:20
Donc j'ai :
Maintenant pour
pour la précision voulue, je peux m'arrêter à 7 chiffres après la virgule ?
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 16 Aoû 2018, 17:32
La suite sur laquelle je bloquais est :
Montrons que cette limite
est un nombre irrationnel.
Supposons
Alors il existerait des entier p et q où non nul tel que :
Pour
on aurait :
Or :
Donc toutes les fractions de la somme peuvent peuvent s'écrire sur un dénominateur commun
où
Pas compris comment on peut mettre les termes de la somme sous un dénominateur commun
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Kolis
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par Kolis » 16 Aoû 2018, 18:02
Vraiment, tu ne sais pas que si
, l'entier
est un diviseur de
.
Maintenant, si ce qui t'arrête c'est la recherche d'un dénominateur commun à plusieurs fractions, tu n'es pas sur le bon forum : il doit y en avoir un niveau "collège" voire "école primaire".
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 16 Aoû 2018, 18:15
Ah oui
divise
J'avais pas pensé à ça !
Je teste pour k=3 par exemple :
est entier car
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Kolis
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par Kolis » 17 Aoû 2018, 08:32
C'est bien ce que je pensais : tu ne sais pas réduire plusieurs fractions au même dénominateur !
Si
tu as
et l'addition étant une opération interne de
...
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 17 Aoû 2018, 15:27
Kolis a écrit:C'est bien ce que je pensais : tu ne sais pas réduire plusieurs fractions au même dénominateur !
Si
tu as
et l'addition étant une opération interne de
...
Ah oui c'était plus rapide comme ça en utilisant que
divise
Astucieux votre calcul
Voyez vous une erreur dans mon calcul ci-dessous ?
D'ailleurs en regardant bien la somme j'aurais fait ça (le problème étant que j'ai toujours du q! au numérateur et je n'arrive pas à l'enlever) :
Donc :
En mettant au même dénominateur :
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 17 Aoû 2018, 16:03
Merci Kolis.
Dernière question, dans mon livre il est écrit que :
Cet exemple donne encore un cas de suite de rationnels qui ne converge pas vers un rationnel. On peut dire également que le corps ne vérifie pas la propriété des suites adjacentes puisque l'exemple montre que 2 suites de rationnel peuvent vérifier les propriétés des suites adjacentes sans que leur limite commune ne soit dans J'ai pas trop compris : c'est quoi la propriété dont il parle sur les suites adjacentes ?
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pascal16
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par pascal16 » 17 Aoû 2018, 17:10
Dans R deux suite adjacentes convergent vers un nombre réel.
Dans Q deux suite adjacentes convergent vers un nombre qui peut être réel ou rationnel, pas forcément un rationnel. Ainsi Q est dense dans R (donc très 'fin'), mais pas complet (donc pas si fin que ça).
https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_complet
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Pseuda
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par Pseuda » 17 Aoû 2018, 21:29
Tout cela est lié : suites de Cauchy qui convergent, suites adjacentes qui convergent, propriété de la borne supérieure. Ces propriétés sont vérifiées dans R et pas dans Q : on dit que R est complet.
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 18 Aoû 2018, 03:13
Je vois merci.
Du coup dans la propriété des suites adjacentes, la limite commune est supposée rester dans l'ensemble de départ auquel appartiennent les suites ?
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Kolis
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par Kolis » 18 Aoû 2018, 09:58
Non !
Il
n'y a pas de propriété de suites adjacentes si tu n'es pas dans une partie de
.
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 18 Aoû 2018, 13:51
Kolis a écrit:Non !
Il
n'y a pas de propriété de suites adjacentes si tu n'es pas dans une partie de
.
Mais
est une partie de
Ah la propriété des suites adjacentes dit que la limite commune restera dans
....
Donc pour des suites rationnelles leur limite commune sera dans
et rien nous dit qu'elle sera dans
?
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