Limite de suite : pourquoi est-ce faux ?

[Stanley]

Bonjour à tous,

Je viens de lire dans un rapport de Jury (EDHEC 2001) que " Limite quand n tend vers + l'infini de ( Wn - W(n+1) ) = 0 n'implique pas que la suite W converge "

( note : Wn = suite W au rang n, W(n+1) = au rang n+1, je précise comme ma notation n'est pas claire :P )

Je comprend pas pourquoi. Si l'écart entre deux termes consécutifs est de plus en plus petit à mesure que le rang augmente, ça veut dire que la suite se "stabilise", et donc possède une limite, non ?

Par avance, merci :)

[le_fabien]

Bonjour,
il faut que tu trouves un contre exemple comme par exemple Wn=

[Stanley]

Merci pour ta réponse, mais je ne sais pas comment calculer la limite de Racine de n moins racine de n+1 :(
En fait ce que j'aimerais comprendre c'est pourquoi c'est faux. Si ils le marquent dans le rapport je les crois, mais j'aimerais bien avoir la démonstration (autre qu'un contre exemple) ou l'explication :P

[le_fabien]

Merci pour ta réponse, mais je ne sais pas comment calculer la limite de Racine de n moins racine de n+1
En fait ce que j'aimerais comprendre c'est pourquoi c'est faux. Si ils le marquent dans le rapport je les crois, mais j'aimerais bien avoir la démonstration (autre qu'un contre exemple) ou l'explication

Il faut penser à l'expression conjuguée , tu connais ?

[le_fabien]

Pour montrer que c'est faux un seul contre exemple suffit.

[Stanley]

Ah oui j'y avais pas pensé (pas fait de maths depuis 3 mois je m'y remet lentement :P)
Bon je trouve bien que la limite de la différence vaut zéro.
Et pourtant la suite tend vers + l'infini.
Je trouve ça toujours bizarre mais je crois que ça commence a rentrer : Plus on tend vers l'infini, plus l'écart entre deux termes consécutifs devient nul donc elle croit de moins en moins vite, mais elle croit toujours c'est ça ?

[le_fabien]

Cette suite tend vers l'infini c'est certain mais ce n'est que l'écart entre deux termes consécutifs qui tend vers 0.
Cela fonctionne aussi pour Wn=ln(n)

[abcd22]

En fait ce que j'aimerais comprendre c'est pourquoi c'est faux. Si ils le marquent dans le rapport je les crois, mais j'aimerais bien avoir la démonstration (autre qu'un contre exemple) ou l'explication

Tu veux montrer que la proposition « pour toute suite telle que tend vers 0, alors converge » est fausse, pour cela il suffit de montrer que sa négation est vraie, et sa négation est « il existe une suite telle que tend vers 0 et n'est pas convergente », ce qui revient à montrer un contre-exemple.
La négation de « A implique B » est « A et (non B) », et pas « A implique non B ».

[Stanley]

Je sais que pour un exos le moyen le plus simple était de trouver un contre exemple mais là je souhaitais juste comprendre. En l'occurrence le contre exemple m'a permis de comprendre donc c'est parfait :P
Merci pour vos réponses

[mathelot]

oui,

la croissance se poursuit
mais la "vitesse" tend vers zéro



autre exemple:

[Pythales]

Et pourtant, c'est la méthode qu'emploient les informaticiens pour vérifier qu'un algorithme itératif converge. Pour calculer numériquement la racine d'une équation à près par exemple, on arrête l'itération lorsque la différence de 2 résultats consécutifs est, en valeur absolue, infèrieure à ...

[abcd22]

Et pourtant, c'est la méthode qu'emploient les informaticiens pour vérifier qu'un algorithme itératif converge. Pour calculer numériquement la racine d'une équation à près par exemple, on arrête l'itération lorsque la différence de 2 résultats consécutifs est, en valeur absolue, infèrieure à ...

Mais ils peuvent se permettre de faire ça car ils savent, par une démonstration mathématique faite avant d'écrire leur algorithme, que l'algorithme qu'ils utilisent donne une suite convergente, et parfois la différence entre un terme de la suite et la limite peut être majorée en fonction de la différence entre deux termes successifs de la suite. C'est le cas par exemple pour l'algorithme de Newton et d'autres méthodes dérivées souvent utilisées pour résoudre des équations.

[Pythales]

Conclusion : méfiez-vous des démonstrations par ordinateur.
(Je suis informaticien ...)