Limite de suite de fonctions

par **Cacabanga** » 15 Sep 2009, 21:10

Bonjour a tous!

Je me demande si il existe des suites de fonctions continues par morceaux sur [a,b] qui converge simplement vers une fonction non continue par morceau sur [a,b].

Si oui je vous demande la meme chose pour des suites qui convergent uniformement ...

Merci pour vos exemples a lavance
vive les maths!

par **Nightmare** » 15 Sep 2009, 23:30

Salut !

Je note

.

Je prends

sur tout compact

C'est une suite de fonction continues par morceaux qui converge simplement vers f'(x). Exo : Montrer que f'(x) n'est pas continue par morceau !

par **Nightmare** » 15 Sep 2009, 23:32

Pour la convergence uniforme la réponse est bien sûr négative puisque la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue !

par **Cacabanga** » 16 Sep 2009, 05:17

Je suis daccord pour ta reponse sur la convergence uniforme. Mais la fonction ne converge pas simplement vers la derivee car en 0 la derivee nest pas definie...

Il faut en realite refuter le fait qu il y ai un nombre finie de discontinuite.

Merci pour tes reponses

par **Nightmare** » 16 Sep 2009, 11:49

Oui tu retires le point 0, ça revient au même on a une fonction continue par morceau de toute façon.

par **Nightmare** » 16 Sep 2009, 11:50

Cela dit, on a le très beau résultat qui dit qu'une suite de fonction continue converge simplement vers une fonction presque partout continue (au sens de Baire).

par **ffpower** » 16 Sep 2009, 17:38

Nightmare a écrit:Pour la convergence uniforme la réponse est bien sûr négative puisque la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue !

P-e mais c est pas spécialement vrai avec continue par morceaux(il peut y avoir de + en + de morceaux).D ailleurs les fonctions en escalier sont continues par morceaux donc on peut obtenir toutes les fonctions riemann integrables..

par **Nightmare** » 16 Sep 2009, 17:40

Que veux-tu dire ffpower ?

Chaque morceau va converger uniformément vers une fonction continue, le nombre de morceau ne varie pas !

par **ffpower** » 16 Sep 2009, 17:50

Pourquoi il varierait pas?pourquoi ne pourrait pas t on faire une suite de fonctions f_n continues par morceaux avec f_n ayant n morceaux?

par **Nightmare** » 16 Sep 2009, 18:05

Effectivement, j'avais dessiné sur mon brouillon une suite de fonction ayant un nombre constant de morceaux, quel idiot.

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