Limite - séries entières

par **PedroL** » 25 Déc 2010, 18:42

bonjour,

Soit la série entière de terme général

. Il s'agit de trouver sa limite.
Le terme générale

est égale à

. Or

. Sa limite est donc égale à zéro...
Voilà, en ce qui concerne le calcul de la limite du terme général mais je n'ai pas pu avoir une idée sur la limite de la série !
Une idée... ?!

PedroL

par **Nightmare** » 25 Déc 2010, 18:44

Salut, as-tu essayé d'appliquer les critères de convergence? Par exemple, premier auquel on pense vu que le TG est positif, le critère de d'Alembert.

par **girdav** » 25 Déc 2010, 19:47

PedroL a écrit:
Soit la série entière de terme général . Il s'agit de trouver sa limite.

On cherche à étudier la convergence de

ou bien la série entière

(rayon de convergence etc...)?

par **PedroL** » 25 Déc 2010, 19:59

girdav a écrit:On cherche à étudier la convergence de ou bien la série entière (rayon de convergence etc...)?

Il s'agit de déterminer la nature de la série (convergente ou divergente) sans calcul de limite ou de rayon de convergence.

La réponse est chez Nightmare, en effet, je n'ai pas pensé à la règle d'Alembert !
Le calcul de

avec

donne l=0.36 <1 d'où la convergence de la série. Est-ce bien celà ?

par **Nightmare** » 25 Déc 2010, 20:02

Si ton calcul de la limite de u(n+1)/u(n) est correct alors la conclusion est effectivement la bonne !

par **girdav** » 25 Déc 2010, 20:05

Pourquoi ne pas utiliser le criètère de Cauchy :

qui tend vers

.

par **PedroL** » 25 Déc 2010, 20:12

Bonsoir girdav,

Qu'est-ce que le critère de Cauchy dans ce cas ? peux-tu développer ?

Attention, le terme général n'est pas

mais plutôt

par **Nightmare** » 25 Déc 2010, 20:14

girdav a écrit:Pourquoi ne pas utiliser le criètère de Cauchy : qui tend vers .

c'est un tout petit peu plus rapide je suis d'accord, maintenant, tant qu'on a le résultat...

Cela dit, à retenir, quand on ne sait pas lequel choisir (Cauchy ou D'Alembert), toujours commencer par Cauchy !

:happy3:

par **girdav** » 25 Déc 2010, 20:16

Si

est une suite de termes positifs et si

alors la série de terme général

converge.

par **girdav** » 25 Déc 2010, 20:17

Nightmare a écrit:c'est un tout petit peu plus rapide je suis d'accord, maintenant, tant qu'on a le résultat...

Le fait de voir du

dans la puissance m'a passé l'envie d'utiliser le critère du rapport (je préfère l'appeler comme ça plutôt que "de d'Alembert").

par **Nightmare** » 25 Déc 2010, 20:20

Oui ça m'a aussi passé l'envie de vérifier la justesse des calculs de PedroL :lol3:

(pourquoi cette réticence face à l'appellation du critère?)

par **girdav** » 25 Déc 2010, 20:24

Nightmare a écrit:(pourquoi cette réticence face à l'appellation du critère?)

C'est en fait plus général : réticence au fait de donner des noms aux théorèmes.
On peut par exemple rebaptiser le critère de d'Alembert critère du rapport, celui de Cauchy critère de la racine.

par **Nightmare** » 25 Déc 2010, 20:33

girdav a écrit:C'est en fait plus général : réticence au fait de donner des noms aux théorèmes.

C'est bizarre comme principe, surtout pour te faire comprendre en discussion mathématiques ça doit pas être super si tu renommes tous les théorèmes !

par **girdav** » 25 Déc 2010, 20:34

Je ne fais cela que sur mes brouillons; quand je suis "en société" je suis bien obligé de m'adapter à la tendance générale.

par **Nightmare** » 25 Déc 2010, 20:35

girdav a écrit:Je ne fais cela que sur mes brouillons; quand je suis "en société" je suis bien obligé de m'adapter à la tendance générale.

Et quelle est la raison de ta rebellion contre la convention ? ^^

par **girdav** » 25 Déc 2010, 20:40

Nightmare a écrit:Et quelle est la raison de ta rebellion contre la convention ? ^^

Essentiellement les limites de la mémoire humaine : plus je vais avancer dans les études et plus j'aurai de théorèmes à retenir. Il est frustrant par exemple de connaitre un résultat, de ne plus de souvenir de la preuve et de ne pas la retrouver aussi facilement qu'on espérait uniquement parce que l'on ne sait pas/plus à quel nom l'associer.

par **Nightmare** » 25 Déc 2010, 20:52

girdav a écrit:Essentiellement les limites de la mémoire humaine : plus je vais avancer dans les études et plus j'aurai de théorèmes à retenir. Il est frustrant par exemple de connaitre un résultat, de ne plus de souvenir de la preuve et de ne pas la retrouver aussi facilement qu'on espérait uniquement parce que l'on ne sait pas/plus à quel nom l'associer.

J'ai du mal à comprendre, a partir du moment où tu oublies le nom d'un théorème, qu'il soit composé d'un nom propre ou un nom commun ne va pas vraiment aider à se rappeler de la preuve vu qu'on a oublié comment il s'appelle !

par **girdav** » 25 Déc 2010, 20:56

Oui, mais si on connait les termes qui gravitent autour du théorème, et si le nom leur était relié, on aurait une chance de remonter jusqu'à celui-ci. Avec le nom d'une personne dont on ne sait pas si le théorème est sa propriété, c'est plus difficile.

par **Nightmare** » 25 Déc 2010, 21:31

girdav a écrit:Oui, mais si on connait les termes qui gravitent autour du théorème, et si le nom leur était relié, on aurait une chance de remonter jusqu'à celui-ci. Avec le nom d'une personne dont on ne sait pas si le théorème est sa propriété, c'est plus difficile.

Désolé, je ne comprends pas (je suis pas non plus à 100% sobre...) ! On est d'accord que tu parles du cas où l'on veut redémontrer un théorème en connaissant son énoncé sans savoir son nom ? Dans ce cas, que tu l'aies appelé critère de Cauchy ou critère de la racine n-ème quand tu l'as rencontré, étant donné que tu as oublié le nom que tu lui as donné, ni l'une ni l'autre des appellations ne servira à se rappeler de la preuve vu qu'on a supposément oublié ces appellations.

Maintenant, si tu parles du cas où tu souhaites redémontrer un théorème dont tu connais l'énoncé et le nom que tu lui as donné, ben je vois pas non plus en quoi ce nom aiderait à retrouver la démonstration puisqu'a priori, le nom que tu lui donnes est une sorte de résumé de son énoncé, donc la connaissance seule de l'énoncé a priori en dit tout autant que l'appellations que tu lui donnes non?

Par exemple, si on me demande de redémontrer le critère de D'Alembert (dont j'ai oublié le nom) en ayant l'énoncé, si tu me dis qu'il s'appelle "critère du rapport" ben ça m'apporte surement pas plus que ce que m'apporte déjà l'énoncé la connaissance de l'énoncé du critère !

Ce qui marcherait par contre, ce serait de donner au théorème une appellation en rapport avec sa preuve et non son énoncé mais dans ce cas, si du coup on connait le nom du théorème mais plus son énoncé, ça devient plus difficile de le retrouver.
:happy3:

par **girdav** » 25 Déc 2010, 21:39

Un exemple devrait permettre de mieux explique ma pensée (mais c'est vrai que j'explique mal). Laquelle de ces deux appellations trouves tu la plus pratique :
1) Théorème de Lebesgue;
2) Théorème de la convergence dominée ?

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