Limite série

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kerrigan0p
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Limite série

par kerrigan0p » 10 Jan 2020, 23:08

Bonjour, je suis en MPSI et j'ai un DM à rendre bientot et je bloque sur la dernière question d'un exercice.
On pose
On cherche la limite de u en +l'infini, dejà u est strictement croissante.
Ensuite notre prof nous a demandé en question préliminaire de faire la décomposition en éléments simples suivante :
X /(X^4+X^2+1) = 1/(2(X^2+X+1) - 1/(2(X^2-X+1)

On en deduit que u est majorée par la somme des inverses des carrés entiers et donc que pour tout n dans N, u(n) =< pi^2/6
Ainsi u majorée et croissante donc u admet une limite par theorème de la limite croissante.
Enfin j'ai conjecturé que sa limite était 1/2 avec python.

Ainsi je me retrouve bloqué j'avais comme idée :
Comme
Alors comme je crois que lim u(n) = 1/2 alors tend vers 1
mais je ne sais pas comment faire.

Merci d'avoir lu, maintenant pouvez vous me conseiller une méthode différente que ce que je vous ai proposé ou alors une technique pour calculer que tend vers 1 .
Merci d'avance



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mathelot
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Re: Limite série

par mathelot » 10 Jan 2020, 23:28

bonsoir, je cherche... peut être comparaison de la série avec une intégrale ? [ne marche pas]
en tout cas la décomposition est



attention au signe , par passage à l'inverse l'inégalité change de sens
Modifié en dernier par mathelot le 10 Jan 2020, 23:57, modifié 2 fois.

GaBuZoMeu
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Re: Limite série

par GaBuZoMeu » 10 Jan 2020, 23:35

Est-ce que ça ne se télescoperait pas, par hasard ? ;)

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mathelot
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Re: Limite série

par mathelot » 11 Jan 2020, 00:05

GaBuZoMeu a écrit:Est-ce que ça ne se télescoperait pas, par hasard ? ;)


oui, ça se télescope


kerrigan0p
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Re: Limite série

par kerrigan0p » 11 Jan 2020, 00:07

GaBuZoMeu a écrit:Est-ce que ça ne se télescoperait pas, par hasard ? ;)

J'ai regardé et l'on voit que (k+1)² -(k+1)+1 = k²+k+1 donc ça se télescope merci je n'y avais pensé que très vaguement sans le tester, ça m'apprendra.

GaBuZoMeu
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Re: Limite série

par GaBuZoMeu » 11 Jan 2020, 00:42

Avec plaisir.
Quand on nous fait mettre le terme général d'une série sous forme d'une différence et qu'on nous demande la somme de cette série, on peut soupçonner un télescopage.

 

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