Limite quand |z| tend vers l'infini

[chombier]

Bonjour à tous,

Je m'interroge sur le sens de cette notation : où f est une fonction complexe à variable complexe.

J'ai bien une idée intuitive, mais je ne trouve nulle part de définition rigoureuse (et encore moins de généralisation, quid de ?

Merci d'avance chers collègues

[lyceen95]

La notation n'existe pas, parce que , sauf cas très très particulier, cette limite serait indéfinie.

Et c'est la même chose avec la 2ème notation que tu envisages.

[aviateur]

Bonjour
La notation est couramment employée. On la rencontre souvent par exemple pour les fractions rationnelles.
Voir aussi le théorème de Liouville

[chombier]

Serait-il possible d'en avoir une définition rigoureuse à l'aide de quantificateurs ?

Elle apparait par exemple dans le Gourdon, Algèbre, page 85, pour démontrer le théorème fondamental de l'algèbre

[GaBuZoMeu]

Rien de très compliqué : veut dire que pour tout il existe tel que pour tout , si alors . Une autre façon de dire ça, c'est que les complémentaires des disques fermés forment une base de voisinage de l'infini.

[chombier]

Une base de voisinages de plus l’infini dans C barre du coup ? Une sorte de plan complexe achevé ? Le compactifié d'Alexandrov de C

(J’essaie de comprendre dans quelle mesure on peut généraliser cette notation, et il me semble qu’on ne peut pas compacfier n’importe quel ensemble)

[LB2]

Bonjour,

on peut le voir comme si C était un cas particulier d'un R-espace vectoriel de dimension 2, normé, muni de la norme euclidienne (= le module complexe)

on a alors accès à la définition de la limite et de la convergence au sens de cette norme, qui correspond à la notion de limite utilisée par Gourdon. L'avantage de cette vision (réductrice j'en conviens) et qu'il n'y a pas besoin d'avoir de connaissances fondamentales en topologie.

[GaBuZoMeu]

Une base de voisinages de plus l’infini dans C barre du coup ? Une sorte de plan complexe achevé ? Le compactifié d'Alexandrov de C

(J’essaie de comprendre dans quelle mesure on peut généraliser cette notation, et il me semble qu’on ne peut pas compacfier n’importe quel ensemble)

Bon, tu l'auras voulu .
Pour compactifier, on ne part bien sûr pas d'un ensemble mais d'un espace topologique. Tout espace topologique localement compact a un compactifié d'Alexandrov, obtenu en ajoutant un point "". Les voisinages ouverts de ce point à l'infini sont les complémentaires des compacts de l'espace de départ.
Le compactifié d'Alexandrov de est topologiquement une sphère, la sphère de Riemann. On peut réaliser cette compactification par l'inverse de la projection stéréographique de la sphère sur le plan.

[chombier]

Merci pour ta réponse

Du coup une fois dans , les notations et deviennent équivalentes, le symbole désignant :

Dans le premier cas un élément de , et une base de voisinages est l'ensemble des intervalles de la forme ;

Dans le second cas un élément de , et une base de voisinages est l'ensemble des complémentaires des disques fermés centrés en O.

Merci à tous !!

[GaBuZoMeu]

On peut aussi prendre le compactifié d'Alexandrov de : c'est topologiquement un cercle. Une base de voisinage ouverts de l'unique point à l'infini est formée des complémentaires d'intervalles fermés bornés.