Limite à gauche de ... avec x qui tend vers e [Résolu]

[Caenem]

Bonjour,

Je dois calculer une limite à gauche :

J'ai commencé par écrire que mais après je dois avouer que je ne sais pas quoi faire, à la rigueur si on avait du 1-x au lieu de e-x on aurait pu utiliser les DL mais là je ne vois pas trop.

[aviateur]

Bonjour
Tu peux commencer par le DL de ln(ln(x))
Pour cela poser 1+u=ln(x) quand x tend vers e ln(x) tend vers 1 donc u tend vers 0/
Ainsi ln(ln(x)) à la forme ln(1+u) avec u qui tends vers 0. Tu écris le DL de ln(1+u) et ainsi de suite.

[Black Jack]

Salut,

Méthode possible ... si la règle de Lhospital a été enseignée.


f(x) = (ln(x))^(ln(e-x))

ln(f(x)) = ln(e-x) * ln(ln(x)) = ln(e-x)/(1/ln(ln(x)))

lim(x-->e-) [ln(e-x)/(1/ln(ln(x)))] est de la forme oo/oo --> application de la règle de Lhospital.

= lim(x-->e-) [(-1/(e-x))/(-1/(x.ln(x).ln²(ln(x)))] = lim(x-->e-) [(x.ln(x).ln²(ln(x)))/(e-x)] est de la forme 0/0 --> application de la règle de Lhospital.

= lim(x-->e-) [(ln(ln(x))*((ln(x)+1)*ln(ln(x))+2))/-1] = [(0 * ((2*0 + 2))/-1] = 0

lim(x-->e-) ln(f(x)) = 0

lim(x--> e-) f(x) = e^0 = 1

lim(x--> e-) [ln(x))^(ln(e-x)] = 1