Limite de fonction

[Paul1908]

Bonjour,

Je cherche à calculer deux limites,

Tout d'abord, lim (quand x->+oo) racine(x^2 + x + 1)-(ax+b)
Ça me fait penser à une asymptote oblique mais je ne peux rien en faire à part utiliser que x et 1 sont négligeable devant x^2 et don j'obtient x-(ax+b) dans ce cas, est ce que je peux donner une limite en fonction de la valeur de a ? Si a>1 a<1 et a=1 ?

Et j'ai aussi, lim(quand x->a) (sin(ax)-sin(x^2))/(x-a)
Mais là je bloque complètement, j'ai pensé à la formule de la dérivée en un point mais je ne m'en sors pas.

Merci beaucoup !

[NicoTial]

Bonjour,
Il serait peut-être mieux d'écrire un développement asymptotique de ta fonction en l'infini....

[Paul1908]

Vous voulez dire un développement limité de ma fonction ?

[NicoTial]

oui c'est ça

[Paul1908]

Pour la première limite ?

[NicoTial]

Oui pour la première limite.

[Paul1908]

Si je le fais à l'ordre 1, j'obtient un truc du genre :
1 + 1/2x + 1/2x^2

[NicoTial]

Es -tu sûr de ton DL ? Il faut te ramener sous la forme avec u qui tend vers 0 pour pouvoir appliquer les formules classiques

[zygomatique]

salut



...

[NicoTial]

salut



...

il est un peu maladroit de mettre ~ x+1/2 .... le mieux c'est de mettre ~x

[zygomatique]

je ne pense pas ...

est intéressant aussi ...

[NicoTial]

oui mais c'était la notation qui était maladroite, il était bien d'avoir le 1/2, mais il fallait passer au o() dans ce cas...

[Paul1908]

Ce que je ne comprends pas c'est que si je me ramène à une forme : x + 1/2 je ne pas determiner ma limite sans donner certaine valeurs de a..
Je continue avec le DL ?

[Paul1908]

J'avoue avoir du mal avec mon DL, je dois poser u = 1/x comme ça lorsque x tend vers l'infini j'ai u tend vers 0
et donc j'ai (1 + x + x^2)^1/2 = (1 + 1/u + (1/u)^2)^1/2 sauf que je n'ai toujours pas mon "t = 1/u + (1/u)^2" qui tend vers 0 pour faire un DL je n'arrive pas à m'en sortir...

Merci

[aymanemaysae]

Bonjour ;

est ce que je peux donner une limite en fonction de la valeur de a ? Si a>1 a<1 et a=1 ?

Je pense que la limite sera donnée en général en fonction de a et b .

Je donne ci-dessous une démarche longue et rasante mais qui donne tous les cas possibles , en laissant à Paul1908 l'honneur de la transcrire en une autre démarche qui utilise les notions des développements limités.

Cas n° 1 : et





Cas n° 2 : et




Cas n° 3 : et





Cas n° 4 : et





Cas n° 5 : et



Cas n° 6 : et

[NicoTial]

J'avoue avoir du mal avec mon DL, je dois poser u = 1/x comme ça lorsque x tend vers l'infini j'ai u tend vers 0
et donc j'ai (1 + x + x^2)^1/2 = (1 + 1/u + (1/u)^2)^1/2 sauf que je n'ai toujours pas mon "t = 1/u + (1/u)^2" qui tend vers 0 pour faire un DL je n'arrive pas à m'en sortir...

Merci

Il te faut en effet faire apparaître du 1/x, dans ce cas, une technique très classique est de factoriser ton expression avec, dans ce cas, la puissance la plus grande, c'est à dire, factoriser par x²... De là tu peux faire ton DL en n'oubliant pas de multiplier à la fin ton DL par la racine de x², donc par x....

[NicoTial]

Ce que je ne comprends pas c'est que si je me ramène à une forme : x + 1/2 je ne pas determiner ma limite sans donner certaine valeurs de a..
Je continue avec le DL ?

C'est très intéressant au contraire, tu vas déterminer la limite en discutant des différentes valeurs de a possibles.

[Paul1908]

Ce que je ne comprends pas c'est que si je me ramène à une forme : x + 1/2 je ne pas determiner ma limite sans donner certaine valeurs de a..
Je continue avec le DL ?

C'est très intéressant au contraire, tu vas déterminer la limite en discutant des différentes valeurs de a possibles.

Ça ne revient pas au même que d'utiliser juste x ? Le 1/2 sert à quoi ?

Pour le DL je comprends la méthode avec le x en facteur, j'obtiens donc :
x . racine(1/x^2 + 1/x + 1) - (ax+b)..
Je fais mon DL en posant u = 1/x^2 + 1/x comme ça j'ai bien mon u qui tend vers 0, ça c'est ok.

Après je fais mon DL de (1+u)1/2 à l'ordre 1 j'obtiens : 1 + u/2
Donc je remplace mon u et j'ai 1 + 1/2x + 1/2x^2, le tout que je démultiplie par x
J'ai donc x + 1/2 + 1/2x ?
La je peux dire que 1/2x est négligeable devant x donc il me reste x + 1/2 ??
Donc je reviens avec le x + 1/2 et là j'étudie les différentes valeurs de a ?

[NicoTial]

Le 1/2 est intéressant, si jamais le a=1, car dans ce cas il n'y a plus de x. De plus, tu peux laisser le terme en 1/2x pour le cas, a=1 & b=1/2....

[Paul1908]

Je crois que je peux tout reconstruire pour donner une réponse !

Peut-être avez vous une idée pour la seconde limite que j'ai posé en premier message ?

En tout cas merci beaucoup pour votre temps !!