Limite fonction: forme indéterminée

[Alex_81]

Bonjour à tous.

Voilà mon probleme: prenons la fonction: f(x)= x ln[1-(1/x)]

Sa limite en +infini est une forme indéterminée de la forme: +infini fois 0.

MAIS la fonction logarithme népérien étant négligeable par rapport à toute fonction monôme ou polynôme de degré supérieur ou égal à 1, cette forme indéterminée devrait pouvoir être résolue: la limite devrait être égale à +infini!

Le professeur nous a pourtant affirmé que non, que cette forme indéterminée reste indéterminée tant qu'on n'utilise pas le calcul différentiel...

Pourtant prenons un autre exemple de forme indéterminée du même type: la fonction g(x)= x exp(-x)
Limite en +infini: forme indéterminée de type +infini fois 0.
Mais là le prof' a dit que comme les fonctions monôme et polynômes de degré supérieur ou égal à 1 sont négligeables devant la fonction exponentielle, la limite ici est égale à 0!


Quelqu'un peut-il m'aider s'il vous plait? Merci d'avance!!!

[Ericovitchi]

ln[1-(1/x)] ~ -1/x quand x tends vers l'infini donc x ln[1-(1/x)] tends vers -1

la fonction ln n'et pas si négligeable que ça :we:

[benekire2]

salut, f(x)=(ln(1-1/x))/(1/x) en posant u=1/x on doit calculer la limite en 0 de ln(1-u)/u et ça c'est le nombre dérivé de ln(1-u) en 0.

[Alex_81]

Oula excusez-moi mais je ne comprends pas...

il me semble que limite de 1/x quand x tend vers l'infini fait 0, donc limite de 1-(1/x) fait 1, donc limite de ln[1-(1/x)] fait ln (1), donc 0, et pas -1... non?

[Ericovitchi]

ca n'est pas la limite de ln[1-(1/x)] que tu nous a demandé, c'est la limite de x.ln[1-(1/x)] donc l'infini x 0 forme indéterminée.

[Ben314]

Salut,
Faire TRES attention aux "phrases toutes faites dont l'interprétation n'est pas claire".
Par exemple :

MAIS la fonction logarithme népérien étant négligeable par rapport à toute fonction monôme ou polynôme de degré supérieur ou égal à 1...

et bien ça veut pas dire grand chose tel que c'est écrit.
Par exemple ln(x) n'est absolument pas "négligeable" par rapport à x-5 lorsque x tend vers 5 (c'est même le contraire)
Autre exemple, si x tend vers 0, dans l'expression ln(x)+x^3-x, ben le terme qui "domine", c'est ln(x).

En résumé, ce qui est vrai, c'est que, lorsque t tend vers 0 ou vers +oo, la limite de t^alpha.ln(t) (avec alpha réel non nul) est la même que celle de t^alpha.
Sauf qu'ici, ce que tu as "dans" ton logarithme, c'est 1+1/x qui, lorsque x tend vers +oo ne tend ni vers 0, ni vers +oo donc on ne risque pas d'appliquer le résultat précédent.

[Alex_81]

Oui en effet tu as raison Ben314, je n'avais pas fait attention au fait que la propriété est "ln est négligeable par rapoort à tte fonction monome ou polynome de degré supérieur ou égal à 1, EN +INFINI. Dans mon exemple le "contenu" de ln tend vers 1 bien que x tende vers +infini alors en effet la propriété ne s'applique pas...

Merci bcp de m'avoir éclairé :we:


Par contre j'ai une autre question dans la même optique: nous savons que la fonction x fois exp(-x) tend vers 0 si x tend vers +infini (car fction x est négligeable devant fction exp en +infini).

Mais cela fonctionne-t-il aussi pour la fonction x fois exp(x) si x tend vers -infini? Cette limite est-elle 0? (je pensais que oui mais maintenant je ne suis plus sûr de rien ^^)

[Ben314]

Oui, et il suffit de "poser" y=-x:

[Alex_81]

C'est bien ce que je pensais :we:

Je te remercie pour ton aide!!! (je dois paraitre un peu niais, mais je n'avais pas fait de maths depuis 2 ans ^^)