Limite fonction à l'aide de la définition.

[timm]

Bonsoir, je vosu contacte au sujet d'un exercice que j'ai resolu ;
En voici l'énoncé : Montrer, en revenant à la définition, que :

lim(x+1)\|x-2|=+∞
x→2
Soit A>0, il existe d >0 tel que |x-2|<d => f(x)>A
Pour moi, il suffit de partir de la condition initiale |x-2|<1\2 pour que x+1 soit strictement positif et que |x-2| ne soit jamais égal à 0. (x>3\2 seulement sera retenu)
Ensuite, je modifie l'inegalité x>3\2 tel que je trouve cela :
x>3\2
<=> x+1>5\2
<=>(x+1)\|x-2|>5\2(|x-2|)
Donc pour satisfaire f(x)>A, il suffit que 5\2(|x-2|)>A, donc que |x-2|<5\2A. Soit prenons d=min(1\2;5\2A). Mon raisonnement est il corect?

[catamat]

Bonjour

lim(x+1)\|x-2|=+∞
x→2
Soit A>0, il existe d >0 tel que |x-2|<d => f(x)>A

Quand on dit x tend vers 2, c'est en spécifiant x différent de 2
donc on doit chercher d>0 tel que 0<|x-2|<d => f(x)>A

Pour moi, il suffit de partir de la condition initiale |x-2|<1\2 pour que x+1 soit strictement positif et que |x-2| ne soit jamais égal à 0.

Ok pour x+1 mais pas pour |x-2| comme dit plus haut, cela doit être spécifié au départ.

Pour le reste cela me semble correct sauf qu'il manque des parenthèses aux dénominateurs
Par ex : doit s'écrire 5/(2A)

[timm]

Ah super merci de l'eclairage! et du coup ici, on prend un x de départ pour la condition |x-2|<a tel que le x soit aux alentours de 2?

[catamat]

Oui pour faire la minoration de f(x), il faut choisir un d tel que x+1>0

Si |x-2|<d on a 2-d<x<2+d, donc 3-d<x+1, on doit donc choisir un d<3 pour s'assurer que x+1>0.

Ensuite on encadre et on obtient

Puis

Il suffit de prendre