Limite finie et continuité

[mehdi-128]

Bonsoir,

Soit f une fonction définie sur un domaine D et

Définition de la limite finie en :


Définition de la continuité en :


J'aimerais démontrer la proposition suivante :
f est continue en et f est définie en et admet une limite finie en

Je ne sais pas comment démontrer des équivalences à partir de propositions qui sont complexes et qui contiennent des implications et des quantificateurs partout.

Y aussi un truc que j'ai pas trop compris dans mon livre :
En spécialisant : dans la définition de la limite, on trouve

J'applique la définition :
appartient forcément à son voisinage puisque ce point appartient à la boule ouverte de centre et de rayon

Donc forcément
Ma rédaction est correcte ?

Après les équivalences j'ai essayé au brouillon mais je n'arrive pas du tout.

[pascal16]

sauf erreur de ma part :
W voisinage de xo => il existe une boule ouverte centrée sur xo, de rayon non nul contenue dans W => réponse évidente.

[mehdi-128]

Oui Pascal je suis d'accord mais qu'est-ce qui est évident ?

[mehdi-128]

Boule ouverte de centre ça donnerait pas plutôt :



Pourquoi c'est un inférieur ou égal ?

[pascal16]

si machin est <= à truc, truc positif non nul
machin est < 9*truc/10, truc positif non nul

si machin est < à truc, truc positif non nul
machin est <= à truc, truc positif non nul

ici, c'est pas un problème, mais tu as raison de te poser la question

doit être >0, car >=0 donnerait une solution =0 évidente même sans continuité

[mehdi-128]

Ah d'accord c'est comme la définition de limite de suite, c'est équivalent d'utiliser et

J'ai une autre question j'aimerais comprendre d'où vient l'équivalence des 2 définitions suivantes :

désigne l'ensemble des voisinages de

Définition 1 :
Soit une partie de et , et
La fonction admet une limite en égale à lorsque :



Définition 2 :
Soit une fonction définie sur un domaine et .
La fonction admet une limite finie en égale à lorsque :

[Landstockman]

Y a pas vraiment équivalence puisque la première définition parle de limites et l'autre de limites finies.
Dans le premier cas, on peut tout à fait prendre , et dans ce cas , ce qui n'est évidemment pas pris en compte dans le deuxième cas.
Sinon c'est la même chose, il suffit d'écrire la définition de voisinage pour le voir.

[mehdi-128]

Merci

signifie qu'il existe tel que :



Maintenant j'arrive pas à traduire car je ne connais pas explicitement

Je peux juste dire que si alors forcément mais j'ai pas tous les x qui appartient à

[aviateur]

J'aimerais démontrer la proposition suivante :
f est continue en et f est définie en et admet une limite finie en

Bonjour
Je n'ai pas lu les autres messages mais ça c'est faux. Où est-ce que tu vas chercher ce genre de questions?

[mehdi-128]

Dans mon livre il est écrit :
Dans le cas où f admet une limite finie l en un réel en lequel elle est définie on a nécessairement
f est continue en f est définie en et admet une limite finie en

[pascal16]

Il y a bcp de confusion sur les limites.

le problème vient quand une fois qu'on a fait la limite classique, on passe aux limites en 0+ et en 0- par exemple.
dans ce cas, on exclus la valeur lors du passage à la limite et la fonction est prolongeable par continuité en 0 si les limites en 0+ et en 0- existent et sont égales (à valeur dans R ou R barre). Elle est continue si les deux limites et la valeurs f(0) sont égales.

si on repart de cette notion pour chercher des limites classiques, on doit rajouter " et f(xo)= limite en xo...". Ceci permet en plus de définir la continuité à gauche et à droite et d'autoriser ensuite des valeurs dans R barre.

Mais dans la version classique de la limite
f est définie et admet un limite en xo => f est aussi proche qu'on veut de f(xo) sur une boule ouvert centrée sur xo => f(xo)=la limite => f continue en xo (et f(xo)=l)

Même s'il manque la définition de l dans l'équivalence, le sens qui pourrait poser problème est pour ma part bon.

Proposez vos démos, détruisez la mienne, contextualisez, expliquez...

[aviateur]

Bonjour
Je me limite uniquement à l'énoncé et puis c'est tout:
je prends si et . f est définie en et admet une limite finie en
Est-ce que tu crois que f est continue en

[aviateur]

Dans mon livre il est écrit :
Dans le cas où f admet une limite finie l en un réel en lequel elle est définie on a nécessairement
f est continue en f est définie en et admet une limite finie en

?????????
Et bien cela ne dérange pas?

[pascal16]

Bonjour
Je me limite uniquement à l'énoncé et puis c'est tout:
je prends si et . f est définie en et admet une limite finie en
Est-ce que tu crois que f est continue en

f n'admet pas de limite en 0.
car pour epsilon = 0.5, il n'existe pas de voisinage de 0 tel que dans ce voisinage, |f(x)-f(0)|< epsilon


Voilà, il y a 2 définition de la limite simple
soit quand x tends vers xo, x différent de xo (**)
soit quand x tends vers xo. (*)

je développe (*)
si on repart de la limite comme celle qui est la même pour toute suite de nombres tendant vers xo, les suites dont la queue est constante à xo en font partie, donc f(xo) est bien confondu à la limite en xo.
wiki arrive au même résultat que le cours de mehdi : https://fr.wikipedia.org/wiki/Limite_(math%C3%A9matiques)#Limite_et_continuit%C3%A9_en_un_point

(**) oui, j'ai un bouquin qui part de cette définition de limite et en effet on a des généralisations plus rapides quand on passe aux limites en +-oo et avec des valeurs dans R barre. Elle est préférée par certains profs du supérieurs.

Question : où trouver la vraie définition ?

[pascal16]

le sens :
f est définie et admet un limite en xo => f est aussi proche qu'on veut de f(xo) sur une boule ouvert centrée sur xo => f(xo)=la limite => f continue en xo (et f(xo)=l)

http://prepas.lavoisier.fr/pdf/programme-MPSI.pdf
page 14

l'autre sens pose-t-il problème ?

[aviateur]

Rebonjour @pascal, oui tu as raison, il y a bien plusieurs définitions de limite.
Je suis tellement habitué à une définition que j'ai oublié l'existence d'une autre définition.

Par exemple, avec mon exemple dire que f n'a pas de limite quand x tend vers 0, c'est tout de même pas classique (au moins pour moi).

Mais alors, je pense qu'il faut tout de même prendre des précautions, ce que @medhi devrait faire.
En tout état de cause, pour éviter toute confusion cela ne coûte rien de dire
"si f(x_0)=l et si f admet comme limite l quand x tend vers x_0 alors f est continue en x_0. "
au moins, cet énoncé est vrai quelque soit la notion envisagée.

Tandis que ce que dit @medhi est faux avec la notion de limite la plus communément employée.

[mehdi-128]

Le problème est que l'auteur ne démontre pas l'équivalence et moi ça m'énerve les résultats non démontrés.

Je n'ai aucun recul sur les notions pour l'instant je suis en phase d'apprentissage donc j'ai un livre de MPSI je lui fais confiance. Ca fait que 3 mois que j'ai repris les mathématiques après 8 ans d'arrêt.

L'énoncé exact du paragraphe :

Soit f une fonction définie sur un domaine et . On dit que f admet une limite finie en lorsque il existe un l réel tel que :


Remarque :

Dans le cas où f admet une limite finie en un réel en lequel elle est définie, on a donc nécessairement et la définition de la limite coïncide avec celle de la continuité en
Ainsi on peut affirmer :

f est continue en f est définie en admet une limite finie en

[mehdi-128]

Bonjour
Je me limite uniquement à l'énoncé et puis c'est tout:
je prends si et . f est définie en et admet une limite finie en
Est-ce que tu crois que f est continue en

La fonction vaut toujours 1 donc elle est continue non ?
Je comprends pas l'intérêt de votre fonction.

[aviateur]

Non c'est une faute de frappe c'est f(0)=0, (j'ai corrigé). c'est facile à deviner que c'est une discontinuité que j'ai souhaité mettre.
Tout ça pour dire que la fonction est continue en x_0 si la limite l=f(x_0). Ce qu n'apparait pas dans ton énoncé et qui pose problème.

[mehdi-128]

D'accord Aviateur j'ai compris la nuance

Du coup il manque aussi ce détail dans le théorème suivant dans mon livre :

Soit f une fonction définie sur un domaine D et
Les 3 assertions suivantes sont équivalentes :
1/ f admet une limite finie en
2/ f est continue en
3/ f admet en des limites à gauche et à droite égales à