Limite, convergence dominée ?

[prody-G]

Bonjour tout le monde,

Je sèche sur la limite suivante ^^' : où est une suite de complexes convergeant vers un complexe z de module inférieur ou égal à 1 et de partie réelle différente de 1.

J'ai essayé le changement de variable mais sans succès et pour la convergence dominée, je ne vois pas par quoi majorer l'intégrande.
Est-ce que vous pouvez m'éclairer ?
merci.

[Nightmare]

Salut!

Déjà je te suggère de poser x=t/p , vois-tu pourquoi?

[prody-G]

Salut!

Déjà je te suggère de poser x=t/p , vois-tu pourquoi?

Pour se ramener à une intégrale à bornes fixes ?

[xyz1975]

Pour la convergence dominée je pense utiliser

[prody-G]

j'ai oublié de préciser que Re(z)<1. J'ai édité mon premier post =)

J'ai essayé avec cette majoration là aussi mais je ne sais pas si elle est assez fine. J'ai essayé qui est pas trop mal puisque ça fournit un . Mais j'arrive pas à contrôler les si ce n'est (on peut supposer quitte à extraire une suite tendant vers l'infini et telle que )

[Pythales]

a mon avis, ça tend vers

[ToToR_2000]

Je pense que l'idée de Nightmare est le bon début, ainsi tu te ramènes à :



et tu n'as plus que le terme qui varie en fonction de p.

Ensuite, il suffit de l'étudier et là pas besoin d'un truc aussi sophistiqué que la convergence dominée.
Comme ta suite converge, à partir d'un certain rang, tu as:

soit et alors , ce qui veut dire que va devenir infiniment grand et que a toutes les chances de diverger (plus précisemment de ne pas avoir de limite), je te laisse le montrer;

soit et dans ce cas: ce qui montre que

Dans ce genre d'exercice, il faut avant tout essayer de "voir" les chiffres (ou les ordres de grandeur si tu veux) à travers les variables et ne pas se lancer dans des majorations tout de suite: c'est bien plus efficace

[prody-G]

Je pense que l'idée de Nightmare est le bon début, ainsi tu te ramènes à :



et tu n'as plus que le terme qui varie en fonction de p.

Ensuite, il suffit de l'étudier et là pas besoin d'un truc aussi sophistiqué que la convergence dominée.
Comme ta suite converge, à partir d'un certain rang, tu as:

soit et alors , ce qui veut dire que va devenir infiniment grand et que a toutes les chances de diverger (plus précisemment de ne pas avoir de limite), je te laisse le montrer;

soit et dans ce cas: ce qui montre que

Dans ce genre d'exercice, il faut avant tout essayer de "voir" les chiffres (ou les ordres de grandeur si tu veux) à travers les variables et ne pas se lancer dans des majorations tout de suite: c'est bien plus efficace

Merci pour ton conseil
En revanche, il y autre chose qui dépend de p c'est le t/x puisque égal à p, j'arrive pas à gérer le (1-x)^p ^^'.

[ToToR_2000]

ah l'erreur ! on ne devrait jamais donner de conseils tard le soir
en tout cas, merci de ta vigilance !

avec ce nouveau terme en plus, ça modifie forcément les données du problème:
pour le cas c'est pareil mais pour , il faut étudier attentivement le comportement de la suite : là l'hypothèse sur la norme des entre en jeu et on peut conclure qu'il existe une même limite à dans tous les cas

[prody-G]

a mon avis, ça tend vers

Est ce que tu pourrais donner des indications sur cette conjecture ? =D

ah l'erreur ! on ne devrait jamais donner de conseils tard le soir
en tout cas, merci de ta vigilance !

hehe ben si ! ça fait avancer les choses un peu plus quand même

ce nouveau terme en plus, ça modifie forcément les données du problème:
pour le cas c'est pareil mais pour , il faut étudier attentivement le comportement de la suite : là l'hypothèse sur la norme des entre en jeu et on peut conclure qu'il existe une même limite à dans tous les cas

yes j'ai étudié suivant les cas de la norme de z. Si |z|0 strictement compris entre |z| et 1, ainsi on peut majorer le module des z_p par r<1 car les |z_p| sont soit plus petits que |z_p| soit entre |z| et r pour p assez grand. En essayant avec la convergence dominée, on a et est intégrable entre 0 et l'infini ce qui est bon. En revanche pour |z|=1 ^^'...

en tout cas merci de votre aide