Limite et convergence dominée

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

J'essayais de faire un exercice où l'on doit déterminer une certaine limite à l'aide du théorème de la convergence dominée. Lorsque je suis arrivé au moment où j'ai trouvé la limite, j'ai commencé à vraiment douter de mon résultat, surtout parce que j'y suis arrivé trop vite à mon goût.



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Soit une fonction définie et continue sur , à valeur réelle et que l'on suppose intégrable sur


Je dois déterminer la limite quand n tend vers l'infini de


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J'ai trouvé comme limite 0
Est-ce que cela vous parait possible comme limite ?


J'ai tracé le graphe de en prenant pour f , mais la courbe lorsque je fais augmenter n "s'aplatit" (sur l'axe des abscisses) très lentement, même trop au point que je pense que mon résultat est faux.


Pour vous résumer ce que j'ai fait pour aboutir à ce résultat :

J'ai considéré la fonction définie sur R+ par :

pour tout réel ,
si alors
sinon

J'ai montré que g est continue par morceau sur R+


J'ai ensuite considéré la suite de fonctions définie par




C'est une suite de fonctions continues sur R+


J'ai montré qu'elle converge simplement vers g, et que

Or |f| est continue intégrable sur R+


Puis j'ai utilisé le théorème de la convergence dominée : donc les sont intégrables sur R+, et g aussi et on a





Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[mrif]

Ton raisonnement est correct, mais la continuité est inutile, en particulier tu n'as pas besoin de montrer que g est continue par morceaux. Il faut juste dire que g est nulle presque partout pour s'assurer que la limite cherchée est 0.