Lim sup

[ludo56]

Bonjour

En cherchant la définition de limsup, je tombe toujours dans le cadre des suites.
Cependant j'ai exercice ou on trouve l'expression suivante:
limsup quand x tend vers y de d(f(x),f(y))/|x-y| avec f qui va de X dans Y et d une distance sur Y (X et Y sont deux espaces métriques)
Quelqu'un pourrait-il m'éclairer sur cette notion (très obscur pour moi)?
Merci d'avance

[mathelot]

bonjour,

j'aurai tendance à écrire quelque chose du style

à y fixé:



est à valeurs dans , croissante, positive
(croissante veut dire içi que quand décroit, le sup décroit lui aussi)
elle a donc une limite quand tend vers zéro

ik faudrait p-e regarder la notion de "filtre".

avec google"filtre+limsup", on tombe sur le tome 4 de Bourbaki
içi

quelques explications sommaires:

la notion de "filtre" est inventée par Henri cartan dans les années 30.
Grosso modo, c'est l'axiomatique des propriétés des voisinages

un filtre F est donc un ensemble de parties d'un espace topologique X
(cf axiomes des filtres)

après on définit
pour une partie f de l'espace topologique de départ.
(par exemple, f est un voisinage de y)

Puis cette partie f est choisie dans un filtre (un peu comme les ouverts
appartiennent à une topologie ou les mesurables à une tribu)

on pose

exemple: f appartient au filtre F constitué des voisinages d'un point y

on peut parler d'ultra-filtre et de convergence selon un filtre.

et on a le théorème général de topologie:
la limite sup est la plus grande valeur d'adhérence (selon le filtre)

dans l'exemple du début , le filtre est constitué des voisinages épointés de y.