Lim de cos(h) - 1 / h

[muse]

Bonjour,

Je sais comment montrer que tend vers 1 quand x tend vers 0
Mais comment montrer que tend vers 0

Le but de ceci est de démontrer que la dérivé du cos est -sin et que la dérivé de sin est cos, donc pas le droit d'utiliser les taux d'accroissement

Pour le sin, j'ai utiliser une méthode par les aires. Il y a une similaire pour cos ?

Merci

[Ben314]

Salut,


On peut même écrire "plus précis" :

[zygomatique]

salut

une autre demo ...

si on connaît la formule des angles doubles et en posant h = 2t alors



donc



:lol3:


Ben314 : plutôt un h qu'un 1 dans la deuxième expression ....

[Ben314]

Ben314 : plutôt un h qu'un 1 dans la deuxième expression ....

pas vu où... :dodo:

[muse]

Super :) merci beaucoup

[zygomatique]

pas vu où... :dodo:

ha oui non : tu divises par h² !!!!!

:mur:

et si je redivise par h = 2t je trouve effectivement comme toi ....

[Godfrey]

Ça me fait penser que toutes les preuves de sinx/x tend vers 1 en 0 sont géométriques, que ce soit la méthode des aires ou de la longueur d'arc.
N'y a-t-il pas moyen de retrouver cela analytiquement (sans utiliser la dérivée, évidement) ?

[lionel52]

Ben comme toujours ça dépend de la définition du sinus. Et la définition du sinus avec le cercle trigonométrique reste "géométrique"

Après tu peux définir les cosinus et sinus par leurs séries entières

[mathelot]

[Godfrey]

Si le but est de calculer la dérivée en $0$ du sinus (resp. cosinus), le définir par une somme de série entière n'est pas très intéressant.
Par conséquent, seule la géométrie pourra nous aider.

[Ben314]

Si le but est de calculer la dérivée en $0$ du sinus (resp. cosinus), le définir par une somme de série entière n'est pas très intéressant.
Par conséquent, seule la géométrie pourra nous aider.

Le "léger" problème, c'est que "par la géométrie", comme tu dit, tu peut m'expliquer comment tu définit proprement les fonction sinus et cosinus (en particulier ce que représente le x dans sin(x) et cos(x)) ?

[muse]

x est la longueur de l'arc de cercle

[Ben314]

x est la longueur de l'arc de cercle

Et tu la définit comment la "longueur d'un arc de cercle" (et/ou plus généralement la longueur d'une portion de courbe) ?
Et une fois que tu as une VRAI définition de la "longueur de l'arc", tu fait comment, par exemple pour montrer que la longueur de l'arc est supérieure à celle de la corde (évidement, pas en disant "c'est évident"...) ?
Et pour montrer qu'elle est inférieure à, par exemple, la tangente ?

[Godfrey]

http://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/geometrie/trigo.pdf

[Ben314]

Trés joli, modulo
- Que la notion de borne supérieure, utilisé pour définir l(gamma), n'est pas ce qu'on pourrait appeler quelque chose de "simple" (et d'ailleurs, j'ai de gros doutes concernant le fait que ce soit encore vu au Lycée la notion de borne sup)
- Que des trucs du style "Avec cette définition il est facile de voir que la longueur d’arc est additive" me semblent quand même assez "vaseux" : je ferait bien le test avec des L3 (voire des profs de Lycée...) pour voir combien sont capable d'en faire une preuve correcte (qui demande de bien maitriser la notion de borne sup, ce qui est rarement le cas...)

Et donc qu'il faut se "contenter" (comme le dit le poly. lui même dans les point a),b),c) du 6)) d'admettre... à peu prés tout ce dont on besoin...