Lieux Géométrique

[chan79]

Bon finalement j'ai réussi à prouver que I((x+1)/2,x/2).
Donc finalement I est la moitié se retrouve à la moitié tout le temps donc I décrit le segment EG où E et G milieu de [BC] et [AB]

Maintenant reste à bien justifier 2b) et à faire le 1)

oui, comme je j'avais écrit plus haut, la méthode avec le repère est la plus simple
Si on pose M(a,0)
Equation de (DM): y=(-1/a)x+1
Equation de (AN): y=ax
Coordonnées de N: (1,a)
A partir des coordonnées de M et N, on a celles de I:((a+1)/2,a/2)
Les coordonnées de I vérifient l'équation: x-y=1/2 qui correspond à la droite (EG) avec E milieu de [BC] et G milieu de [BA].
et comme 0<=a<=1
1<=a+1<=2
et xI varie entre 1/2 et 1.
M est bien sur le segment [EG].
Pour être complet, il faut montrer l'inclusion dans l'autre sens.
Tu prends un point I sur [EG] et tu montres qu'on peut trouver un point M convenable sur [AB].
Pour le 1, c'est déjà fait, je pense

[Tiruxa]

Un autre approche du problème pour le point I :

M est sur ]AB[ <=> M est barycentre de (A,k)(B,1-k) où 0(les cas particuliers M=A et M=B seront vus séparément)

On peut démontrer que N est l'image de M par la rotation de centre O (centre du carré) et d'angle +pi/2.

Donc N est barycentre de (B,k)(C,1-k)

I milieu de [MN] est donc barycentre de (M,1)(N,1)
donc I barycentre de (A,k)(B,1-k)(B,k)(C,1-k) (par associativité)

I est donc barycentre de (A,k)(B,k)(B,1-k)(C,1-k)
ou encore si on appelle A' le milieu de [AB] et B' celui de [BC]
par associativité
I est donc barycentre de (A',2k)(B',2-2k)
ou enfin
I est barycentre de (A',k)(B',1-k)

Donc I est sur ]A'B'[
Réciproquement on peut remonter sans difficultés.

Pour k=0, M est en B, N en C et I en B'
Pour k=1, M est en A, N en B et I en A'

Donc le lieu de I est le segment [A'B']

[damdamdoumdu36]

Alors voilà ce que j'ai fait (dites moi si tout est bon :)).

Question 1:

Lorsque M=A on a J=A. De plus lorsque M=B on a J centre du carré ABCD (les diagonales se coupent en leur milieu).
De plus AJD est un angle droite. Donc AJD est un triangle inscrit dans un cercle et J appartient à ce cercle.
Donc J décrit l'arc de cercle circonscrit au triangle rectangle AJD compris entre A et P (ou P centre du carré).

Question 2a:

Par les scalaires on a =0 (car perpendicualire). On note M(x,0) et N(1,t).
Donc <(x,-1),(1,t)>=0 donc x=t
Donc M(x,0) et N(1,x)
Comme I milieu de MN on a donc I((x+1)/2,x/2)
Donc I((x+1)/2)=x/2
On obtient finalement I(x)=x-1/2 pour x appartenant à [0,5;1]

Question 2b:

Soit E milieu de [BC], E(1 ; 1/2)
Soit F Milieu de [AB] , F(1/2; 0)
Le vecteur FI=x(1/2,1/2)
Le vecteur EF=(1/2,1/2)
Donc FI=xEF donc FI et EF sont colinéaire donc I appartient à [EF]
De plus lorsque M=A, I=F
Lorsque M=B , I=E
Donc I décrit le segment [EF].

Voilà dites moi si c'est assez clair et correct.

Je tiens à vous remercier de m'avoir aidé dans cet exercice.

[Black Jack]

Méthode calculatoire :

M(XM ; 0) (avec XM dans [0 ; 1]
D(0 , 1)

(DM) : y = (-1/XM).x + 1
(AN) : y = XM.x

N(1 ; XM)

I((XM+1)/2 ; XM/2)

x(I) = (XM+1)/2
y(I) = XM/2

on élimine XM entre ces 2 équations : x = (2y + 1)/2
y = x - 1/2

Le point I parcourt un segment de la droite d'équation y = x - 1/2 (pour x de 1/2 à 1)
*****
Recherche coordonnées de J.

Ce sont les solutions du système :

(DM) : y = (-1/XM).x + 1
(AN) : y = XM.x

on arrive à :
x = XM/(1+XM²) et y = XM²/(1+XM²)
Ce sont les coordonnées de J.

on élimine XM :

XM² = y + XM².y
XM² = y/(y-1)

y = x * XM
x = XM/(1+XM²)

xM².x - XM + x = 0

XM = [1 +/- V(1 - 4x²)]/(2x)

y = x * [1 +/- V(1 - 4x²)]/(2x)

y = [1 +/- V(1 - 4x²)]/2

(2y-1) = +/- V(1 - 4x²)
4y²+1-4y = 1 - 4x²
4y²-4y+4x² = 0
y²-y+x² = 0
x² + (y - 1/2)² = 1/4

J décrit une portion du cercle dont le centre est au milieu du segment [AB] et de rayon 1/2
La portion de cercle parcourue est celle contenue dans le carré ABCD.
*****

:zen:

[Ben314]

Salut,
Perso, j'y arrive assez bien sans repère mais... avec des similitudes...
Si on note O le centre du carré, N est l'image de M par la rotation de centre O et d'angle pi/2 (dans le sens trigo).
Les triangles (MON) sont donc semblables entre eux et donc les triangles (MOI) le sont aussi : I est donc l'image de M par la similitude de centre O, d'angle pi/4 et de rapport 1/racine(2).
L'image du segment [AB] est donc un segment dont les extrémités sont les images de A et B.