Z[x]/2.Z[x] libre de rang fini?

[simplet]

Bonjour; alors voila,
je veux démontrer que Z[X]/2.Z[X] = A n'est pas de dimension finie.

Pour cela je veux montrer que , si A est de dimension k-1 , la famille (1,...,X^k) est libre, donc la base de A sera de cardinal =
Je suppose donc une famille de "scalaires" qui fait que la CL des 1,...,X^n est nulle, et je dois montrer que ces "scalaires" sont nuls.
Là où ca coince c'est que j'ai du mal a savoir à quoi appartiennent ces "scalaires"..: à Z ,ou à la classe de Z dans A?? (parce que bien sur le résultat diffère)

PS: je devais traiter la question si B[X]/P.B[X] était un B-module libre de rang n fini. L'exemple ci-dessus était un contre-exemple si P n'était pas unitaire. (B étant un anneau commutatif intègre)


mercii

[yos]

Il me semble que si P1, ... , Pm sont dans Z[X],
alors 2P1+ ... +2Pm=0 modulo 2Z[X].

[simplet]

1ere question: pourquoi prendre des P1,...,Pm et non 1,...,X^m-1

2eme question: montrer que classe(a)=0 reviens a montrer a multiple de 2. Donc si on prend comme scalaire a on a pas a=0 (dans une CL=0) mais si on prend classe(a) alors on montre que a est multiple de 2 et donc classe(a)=0 ce qu'on voudrait montrer.
D'où ma question: quel scalaire prendre (pour que le raisonnement soit juste)? dans Z ou dans la classe de Z?

merci

[yos]

Oui, à la réflexion, je dirais que les scalaires doivent être dans Z/2Z. En effet, les éléments de Z[X]/2Z[X] sont les sommes de X^k à coef 0 ou 1. Ces X^k forment une partie libre.
Z/2Z est un corps, donc ton module devient un espace vectoriel.
J'espère ne pas dire de bétises.

[simplet]

en fait les deux démarches de départ me parassaient "non absurde" je voulais donc confirmation pour mon choix de "scalaire". En y réfléchissant un élément z de Z n'est pas dans un anneaux quelconque, mais z.1 où 1 est le neutre de cet anneau y est: c'est cette identification qui peut amener des doutes je pense.


Mais ce qui me turlupinait c'est que dans la définition d'une CL dans un A-module c'est que les "scalaires" sont dans A !! d'où dans l'exemple que je t'ai donné, dans Z.... ...


en tout cas merci