Les sphères

[romain.autret]

Bonjour, j'ai du mal a débuté mon excercice, cest un exercice de recherche (sans cours spécifique sur les sphéres).

On considère le cercle C défini par :



et la droite D définie par :



Déterminer les sphères qui contiennent le cercle C et qui sont tangents a D

Quelquun pourrait il donner une indication pour débuter ?

Merci.

[leon1789]

Tu connais l'équation d'une sphère ? (distance d'un point au centre, rayon, etc.)
Ensuite, il faut que ton équation de sphère redonne celle du cercle précisé dans l'énoncé quand z=0.
Ensuite, on s'occupera de la tangence à la droite...

[romain.autret]

Pour moi l'équation d'une sphère serait :

[leon1789]

Pour moi l'équation d'une sphère serait :

(rayon au carré /!\)

exact

Maintenant, il faut que ta sphère contienne le cercle, c'est-à-dire que pour z=0 on doit trouver l'équation du cercle en posant x0, y0, z0 et R de manière "juste nécessaire".

[romain.autret]

Je pense me tromper,

On a l'équation de cercle

Mais je trouve


d'ou

je dois me tromper quelque part.

[chan79]

Je pense me tromper,

On a l'équation de cercle

Mais je trouve


d'ou

je dois me tromper quelque part.

Bonsoir
Le centre de la sphère a comme coordonnées (0,1,m) (m à déterminer)
L'équation de la sphère est donc x²+(y-1)²+(z-m)²=R²
Pour déterminer R, traduis le fait que cette sphère passe par exemple par (0,1+,0)
Tu dois trouver R²=2+m²
Il te reste à déterminer m pour que l'intersection de cette sphère avec la droite soit constituée d'un seul point. Ca te donnera deux valeurs de m

[romain.autret]

Je ne comprends pas pourquoi on prend ici

[chan79]

Je ne comprends pas pourquoi on prend ici

c'est un point qui vérifie les égalités qui définissent le cercle:
z=0
x²+y²-2y-1=0
(j'ai pris x=0 et déterminé une valeur pour y)
on aurait pu prendre un autre point, comme (1,0,0)

[leon1789]

exact

Maintenant, il faut que ta sphère contienne le cercle, c'est-à-dire que pour z=0 on doit trouver l'équation du cercle en posant x0, y0, z0 et R de manière "juste nécessaire".

Je me réponds :
on développe en posant z=0

On identifie les coefficients en x,y avec l'équation du cercle

Il vient alors xo = 0 , yo =1 et , c'est à dire
D'où l'équation des sphères cherchées .

Il reste maintenant à trouver z0 pour la tangence avec la droite...

[romain.autret]

Merci je vais continuer

[romain.autret]

Ma démarche :

On calcule la Distance du centre de la sphère à la droite

Il faut que cette distance soit égale au rayon pour que soit tangente a

Bonne voie ?

[romain.autret]

Je sais que si la droite D est tangente à la sphere, alors la distance de D au centre de la sphere est égale au rayon.

Mais je tourne en rond jai du mal a le mettre en équation.

[leon1789]

Question :
combien de points peut-on avoir dans une intersection d'une droite et d'une sphère ? (précise les circonstances)

[romain.autret]

On peut avoir :

Soit 2 points si la distance entre le centre de la sphere et la droite est < R.
Soit 1 point si la distance entre le centre de la sphere et la droite = R.
Soit 0 point si la distance entre le centre de la sphere et la droite > R.

[leon1789]

On peut avoir :

Soit 2 points si la distance entre le centre de la sphere et la droite est R.

Exact. Tu vois donc qu'il y a un seul point commun si et seulement si droite est tangente à la sphère. C'est une caractérisation de la tangente.

Est-ce que tu peux calculer ce(s) point(s) commun(s) avec les équations ?

[romain.autret]

C'est ca le probleme justement, j'ai du mal a faire la mise en équation.

[leon1789]

C'est ca le probleme justement, j'ai du mal a faire la mise en équation.

Les équations, tu les as... regarde bien.

Pour déterminer un point de l'espace, il faut 3 coordonnées. Pour trouver les 3 coordonnées d'un point d'intersection P, il faut (souvent) considérer 3 équations vérifiées par les coordonnées de P.
Vois-tu ces 3 équations ?

[romain.autret]

L'équation du cercle, l'équation de la sphère et l'équation de la droite D ?

Mais jai du mal a mettre en équation D (ax+by+c jy suis plus habitué).

[leon1789]

L'équation du cercle, l'équation de la sphère et l'équation de la droite D ?

Pas celle du cercle : le point d'intersection de la sphère et de la droite tangente ne se trouve pas forcément sur le cercle.

Bon, cela te donne quelles équations ?

[romain.autret]

L'equation des sphères
l'equation de la droite