Les polynômes de Bernstein

[Hipollene]

Bonjour,

J'ai un DM à faire durant ces vacances... je cherche en même temps à réviser des notions du premier trimestre sur lesquelles je sèche encore et toujours... voici mes quelques problèmes, si quelqu'un pouvait m'aider ce serait cool...
Merci d'avance.

Tout d'abord, le DM :
Les polynômes de Bernstein sont donnés par
En,k = ("k parmi n")X^k(1-X)^n-k

-> Déterminer la valeur de xn,k (je ne sais pas à quoi correspond le "petit x") pour laquelle En,k est maximale. Je pense que le résultat est xn,k = n/k, mais je n'en suis absolument pas sur... et je n'ai aucune démo qui pourrait le prouver !

-> Simplifier :
Somme de k=0 à n de En,k... ça j'ai trouvé avec le binôme de Newton, c'est égal à 1.
Par contre après je ne trouve pas :
Somme de k=0 à n de k(En,k)
Somme de k=0 à n de k(k-1)(En,k)
et enfin, Somme de k=0 à n de k²(En,k)
On pourra utiliser ("k parmi n") = n/k ("k-1 parmi n-1")

-> En déduire que
Somme de k=0 à n de (k-nX)²(En,k)=nX(1-X)

Voilà si vous pouviez me donner un coup de main...

Pour les notions, quelles sont les sommes à connaître ? (somme télescopique, binôme de Newton... ça suffit ???)

[ThSQ]

xn,k = n/k

Tu as dû oublié de nous dire que tu travailles dans [0;1] non ? sinon y'a pas de max... Si oui ok pour n/k et il suffit de dériver et d'étudier bêtement par exemple.

Pour les autres relations il suffit de dériver la 1ère relation pour les obtenir.

[Hipollene]

En effet, j'ai oublié de vous dire que l'on travaillait sur [0;1]...

J'ai essayer de dériver mon expression, mais je bloque (encore !)... tout d'abord, je ne sais pas dériver les ("k parmi n").
Ensuite je trouve :
(En,k)' = ("k parmis n") (kX^(k-1)(1-X)^n-k + X^k(n-k)(1-X)^(n-k-1))
Quand bien même la dérivée serait bonne, je ne sais pas quoi faire avec cette expression...
(En,k)' > 0 ça me dit bien, mais j'ai deux variables donc je ne peux pas faire grand chose...

[busard_des_roseaux]

bonjour,


est-ce que tu sais dériver la fonction polynomiale
?
oui, sans doute. Et bien là c'est pareil.
est une variable prenant des valeurs réelles


est une constante multiplicative.

En,k est dérivable et


la dérivée s'annule en et c'est nécéssairemnt un maximum car le polynôme ne prend que des valeurs positives et f '
ne s'annule qu'une fois dans ]0;1[.

[coco76890]

bonjour a tous et bonne année !!

je suis ds la classe a hipollène mais je ne trouve pas cette expression pour la dérivée !!

a la place du moins, j'obtiens un plus !!!!

busard des roseaux pourais tu nous expliquer comment tu obtiens ce moins???

[busard_des_roseaux]

le sign moins vient de la formule de dérivée des fonctions composées
ie, du (1-x).

[coco76890]

exact j'avais completement oublié le moins devant le X dans la composée !!

merci

mais j'ai un autre soucis, je cherche a démontrer que k/n est bien la valeur de x pour laqelle la derivée s'annule

voila ce que j'ai :

E(n,k) ' = 0 <=> kparmi n * kX^(k-1) * (1-X)^(n-k) - k parmi n * X^k * (n-k)(1-X)^(n-k-1) = 0

<=> kparmi n * kX^(k-1) * (1-X)^(n-k) = k parmi n * X^k * (n-k)(1-X)^(n-k-1)

<=> ???

car avec le ( 1-X)^(n-k) et le (1-X)^(n-k-1) je suis sur qu'on peut le simplifier mais il reste le -1 est ce que cela donnerait :

(1-X)^-1 ????

[busard_des_roseaux]

il suffit de mettre en facteur (1-X)^(n-k-1)
et X^{k-1}

par curiosité, c'est quel niveau cet exo ?

[busard_des_roseaux]

Les polynomes de Bernstein donnent une formule explicite
de polynomes convergeant uniformément vers une fonction f
continue sur [0;1].

Je me demande si la formule du multinôme donne des polynômes
convergeant vers f sur un compact de ?

[coco76890]

euh !! mpsi

[coco76890]

c'est bon j'ai trouvé !! x =k/n

merciiii !!!

ahhh

question suivante !! youpi !!

[Hipollene]

Je me demande si la formule du multinôme donne des polynômes convergeant vers f sur un compact de ?

Euh... c'est quoi un multinôme ????? Et c'est quoi un compacte de ????????? :triste:

Oui, on est en MPSI... et on rame !!!!!

[busard_des_roseaux]

En français, l'adjectif compact signifie dense, serré (une foule compacte).

En maths, un ensemble X est compact s'il est séparé et si pour tout recouvrement de X par une famille d'ouverts, X est déja recouvert
par un nombre fini d'entre eux.

La notion d'ensemble compact généralise les ensembles finis.

[Hipollene]

On se pose encore une question....
On ne voit pas comment on passe de (1-x)^n-k-1 à x^n-k-1 ?

[busard_des_roseaux]

On se pose encore une question....
On ne voit pas comment on passe de (1-x)^n-k-1 à x^n-k-1 ?

vous ne brulez pas. Quel est le problème ?

[coco76890]

re bonjour

j'ai une autre question !

Voila il faudrait que je simplifie S je note S pr Somme

S (k=0 a n) k(k-1)(k parmi n)X^k(1-X)^(n-k)

j'ai trouvé ca mais je bloque pr la suite

S (k=0 a n)( [k(k-1)n]/k ( k-1 parmi n-1)X^k(1-X)^(n-k)

et la .... je bloque

[busard_des_roseaux]

j'avais vu un truc, il y a quelques jours, de sympa.

On peut exprimer facilement en fonction de , il suffit de remultiplier par les facteurs qui ont disparu dans la dérivation...

[coco76890]

dans la dérivation ???? faut dérivé tt ca ???? rooo non !!! stp !!! dis pas quil faut dérivé !!!

[busard_des_roseaux]

[tbotw69]

Juste au passage ... ces polynomes permettent d'établir les courbes de Bezier (que j'ai pas mal travaillé) Pour ceux qui savent pas quoi faire, ça vaut le coup d'aller faire un tour sur Internet pour voir comment ça marche, c'est assez marrant !