Les Matrices

[t-xas]

Comment peut on calculer l'inverse d'une matrice ? (la méthodologie)
Mercii

[Monsieur23]

Pivot de Gauss ?

[Nightmare]

Bonsoir,

Il existe beaucoup de méthodes. Le pivot de Gauss comme cité, on peut aussi réduire la matrice à une forme trigonale ou diagonale si c'est possible, on peut aussi utiliser la formule avec la transposée de la comatrice (moins fréquent), on peut aussi utiliser un polynôme annulateur. Bref, tout dépend du contexte et de la tête de la matrice.

[t-xas]

d'aprés ce qu'on a c'est 2 methodes ,une methode qu'on appelle à la main et la methode par déterminant;mais c'est la methode que je ne comprend pas bien, par exemple pour la matrice
1 3
A=
4 2

[mAroCaInEE]

Il y a déjà un sujet déjà vu pour celà il suffit de faire une recherche sous inverse et rang de matrice et tu vas le trouver. http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=79046&highlight=inverse+rang+matrice le lien
Moi j'ai déjà expliquer comment faire pour la méthode de la transposée de la comatrice mais j'ai noté que c'est très long pour calcul et aussi un des répondeur a noter celà .
alors c'est mieux d'apprendre la méthode de pivot de gauss c'est la plus sure et rapide comme même.

[Nightmare]

La méthode du Pivot de Gauss n'est pas toujours la plus rapide.

[t-xas]

et c'est quoi cette methode de gauss svp??

[mAroCaInEE]

dans les cas de l'ordre plus 5 oui je suis d'acoord et aussi ça depend de la matrice. En tout cas pour moi Pivot de gauss reste la meilleur :zen:

[Nightmare]

De toute façon inverser une matrice avec un gros ordre ça devient rapidement un calvaire, les machines le font mieux que nous, pourquoi s'en priver :lol3:

[t-xas]

et ca consiste à quoi cette methode de gauss svp??

[Nightmare]

Un coup de google ...

[mAroCaInEE]

La definition la plus pratique c'est rendre la matrice sous la forme d'un systéme linaire XA=D puis il faut le résoudre.
Par exemple tu as une matrice de l'ordre 3
1er ligne tu as :1;2;2
2éme ligne tu as:1;0;2
3éme ligne tu as: 0;3;4
dans ce cas on considère X = x;y;z et D= a;b;c
alors le système va etre sous la forme :

XA=D
C'est :

x+2y+2z=a
x+2z=b
3y+4z=c

alors ton role c'est de chercher x et y et z en fonction de a et b et c.
A la fin quand tu trouve x et y et z en fonction de a b et c la matrice inverse c'est rien que :
1er ligne: les coefficient de x : (.. ;..;..)
2éme ligne: les coffecient de y: (..;..;..)
3éme ligne : les coffecients de z:(..;..;..)

je souhaite que tu as pu voir un peux c'est de quoi .
Note : il faut tjrs avant calculer l'inverse d'une matrice tjrs tjrs tjrs calculer le det de la matrice car si det=0 alors tu as dans ce cas là une matrice qui n'admet pas d'inverse.

[t-xas]

wi merci pour ces explications c'est tres interressant

[t-xas]

Donc si vous permettez bien on va prendre un exemple simple:
-1 ; -4
-4; -4
4 ; 6
d'aprés ce que vous avez dit:
-x-4y=a
-4x-4y=b
4x+6y=c

Donc le probleme qui se pose c'est comment on va trouver les coefficient de "a" ,"b" et "c"

[mAroCaInEE]

Bon comme celà tu peux pas trouver l'inverse car tout simplement il faut que la matrice sera carré alors avoir les même nombres de lignes que de colonnes .OK

[Nightmare]

En réalité on peut calculer une sorte d'inverse dans le cas d'une matrice non carrée. (appelée pseudo-inverse) mais il n'y a pas unicité.

[mAroCaInEE]

[FONT=Comic Sans MS]

En réalité on peut calculer une sorte d'inverse dans le cas d'une matrice non carrée. (appelée pseudo-inverse) mais il n'y a pas unicité.

Désolée mais pour moi j'ai jamais travaillé ce cas.

Bon pour expliquer comment résoudre et trouver l'inverse je dois me permettre de donner un exemple bien detailler et je souhaite de dieu que tu arrive à voir comment trouver l'inverse avec Pivot de Gauss:
==> Si tu remarque c'est que j'ai modifié l'exemple se matrice que je t'ai donné car tout simplement quand j'ai calculé son determinant je l'ai trouvé = à ZéRO et donc impossible de trouver son inverse.
Bon mnt je dois travailler le nouveau exemple et je suis désolée de ne pas utiliser la forme de matrice mais vrmt je ne connais pas comment le faire avec TEX :
On as la matrice A:
=1;2;2
=1;0;2
=0;3;4
Alors comme on a dit la première chose à faire avant de débuter le calcule de l'inverse c'est de calculer le A. Je dois considerer que tu sais comment le faire donc on va trouver A=-20#0 Alors c'est bien on peut débuter le calcule:
On rendre A sous la forme d'un système XA=D donc on va trouver
x+2y+2z=a
x+2z=b
3y+4z=c
On vas choisir ligne qui va etre pivot (qu'on essaie d'eliminé à l'aide d'elle des termes dans les autres lignes)
Alors dans notre cas c'est mieux de choisir alors on vas essayer d'eliminer avec elle x et z en
Alors on écrit normalement:
=-=(x+2y+2z)-(x+2z)=a-b
=-=2y= a-b
d'où on conclu directement que y= a/2-b/2
Si on remplace y par la valeur trouver dans on va trouver que z=(-3a/8)-(3b/8)-(c/4)
Et à la fin on trouve à l'aide de x+2z=b et ce qu'on trouvé comme valeur pour z la valeur de x=(3a/4)+(b/4)-(c/2).
Donc voilà on a pu là trouver la matrice inverse il reste seulement comment l'écrire et celà et simple.
=: les coefficients de a .. ;..;..)
=: les coefficients de b: (..;..;..)
=: les coefficients de c:(..;..;..)

= les coefficients de x:(..;..;..)
= les coefficients de y:(..;..;..)
= les coefficients de z:(..;..;..)

Avec C=Colonnes
donc à la fin on va trouver la matrice est égale à :
=:(3/4;1/2;(-3/8))
=:(1/4;(-1/2);3/8)
=:((-1/2);0;1/4)[/FONT]
Voilà notre matrice inverse, et vrmt j'ai essayé de prendre un exemple plus simple car à la fin tu peux avoir un système plus compliquer que le mien mais bon j'ai voulu seulement te montrer comment on applique cette méthode.
Je souhaite que j'ai pas raté quleque chose et que j'ai bien calculé l'inverse.
Il faut aussi noter que pour etre assurer que ta matrice est bien c'est l'inverse il suffit d'appliquer la régle de Matrice I donc il faut effectuer la multiplication A^{-1}.A et trouver que c'est égale à I.
Bonne chance....
:doh: c'est le plus long message que j'ai posté dans toute ma vie :ptdr: :ptdr: .

[t-xas]

Bjr
Donc cette méthode de systeme linéaire ce n'est valable que pour les matrice carré??